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封閉性
(數學術語)
鎖定
- 中文名
- 封閉性
- 外文名
- Closure (mathematics)
- 領 域
- 數學
封閉性簡介
封閉性,即閉包(數學)。數學中,若對某個集合的成員進行一種運算,生成的仍然是這個集合的成員,則該集合被稱為在這個運算下閉合。例如,實數在減法下閉合,但自然數不行:自然數3和7的減法3−7的結果不是自然數。類似的,一個集合被稱為在某些運算的蒐集下閉合,如果它在每個運算之下都閉合。
一個集合在某個運算或某些運算的蒐集下閉合被稱為滿足閉包性質。閉包性質經常作為公理,通常叫做閉包公理。現代集合論通常這樣定義:運算為在集合間的映射。所以向一個結構增加閉包性質作為公理是多餘的,儘管它對於子集是否閉合的問題仍有意義。
當一個集合S在某個運算下不閉合的時候,我們通常可以找到包含S的最小的閉合集合。這個最小閉合集合被稱為S的(關於這個運算的)閉包。例如,若把自然數集看作實數集的子集,它在減法下的閉包就是整數集。一個重要的例子是拓撲閉包。閉包的概念推廣為伽羅瓦連接,進一步為單子。注意集合S必須是閉合集合的子集,這樣才能定義閉包算子。在前面的例子中,實數在減法下閉合是重要的,減法不總是在自然數的定義域中有定義的。
封閉性閉包集合
如果對一個集合的成員進行某種運算時,返回值總是這個集合的成員,那麼稱這個集合在這種運算下閉合。有時會明確要求運算的返回值位於某個集合中,在這種情況下它叫做閉包公理。例如,例如,羣被定義為滿足一些公理的帶有一個二元運算的一個集合,包括了羣的任何兩個元素的結合再次是一個元素的公理。但是現代的運算定義使這個公理多餘了,在S上n元算子只是S的子集。通過這種定義,在一個集合上的算子不能有在這個集合之外的值。
一類不同的運算是找到拓撲空間的子集的極限點(如果這個空間是第一可數空間,只考慮收斂序列就足夠了,但一般而言至少要考慮網的極限)。拓撲學中通常稱在這個運算下閉合的集合為閉集。如果沒有其他説明的話,一般而言閉集就是指閉合的性質。閉區間如[1,2]={x:1≤x≤2}就是在這種意義上閉合。
偏序集合是向下閉合的(也叫做下閉集合),如果對於這個集合的所有元素,所有更小的元素也都在其中;這適用於實數區間(-∞,p)和(-∞,p]的例子。
封閉性閉包算子
主條目:閉包算子
給定在集合X上的一個算子,可以對X中的一個子集S定義閉包C(S),C(S)是在X中包含S且在運算下閉合的最小子集。例如,羣的子集的閉包是這個集合所生成的子羣。
關於某個運算的集合的閉包定義了在X的子集上的閉包算子。閉合集合可以確定自閉包算子;一個集合是閉合的如果它等於自己的閉包。所有閉包算子都有以下的典型結構性特徵:
- 閉包是遞增的或擴大的:一個對象的閉包包含這個對象。
- 閉包是冪等的:閉包的閉包等於閉包。
- 閉包是單調的,就是説,如果X包含在Y中,則C(X)也包含在C(Y)。
若一對象等同於自身的閉包,就稱之為閉合。根據冪等性,一個對象是閉合的,當且僅當它是某個對象的閉包。
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