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子基

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子基是與拓撲有關的概念。設(X,T)為拓撲空間，S⊂T，若S的元的所有有限交的族為T的基，則稱S為拓撲空間(X，T)的子基或拓撲S的子基，每一個非空集族S必是X=∪S上的某個拓撲的子基，並且該拓撲由S惟一確定，它是包含S的最小拓撲，一個拓撲可以有不同的子基，但子基確定惟一的拓撲。 [1] 
中文名
子基
外文名
subbase
所屬學科
一般拓撲學
相關概念
拓撲、拓撲空間、基等

目錄

  1. 1 定義
  2. 2 相關概念
  3. ▪ 拓撲基
  1. ▪ 鄰域基
  2. 3 例子
  3. 4 相關定理
  1. ▪ 定理1
  2. ▪ 定理2
  3. ▪ 定理3

子基定義

設
是拓撲空間，
。若
為
的所有包含
的拓撲的交，則稱
是拓撲
的子基，
中的元素稱為子基開集。 [3] 
等價定義為
設
是拓撲空間，
，若
中元素的一切有限交之族是集合X上的拓撲
的基，則稱
是拓撲
的子基，
中的元素稱為子基開集。 [2] 

子基相關概念

子基拓撲基

設
是拓撲空間，
，若
的元素都可表示為
中某些元素的並，即對於
，存在
使得
，則稱
是拓撲
的基或拓撲基，也稱為拓撲空間
的基或拓撲基，
中的元素稱為基開集。 [2] 

子基鄰域基

設(X,τ)是拓撲空間，τ‘為X中一點x的開鄰域族。若給定包含x的任一開集U，τ‘中均存在開鄰域V⊆U，則稱τ‘為鄰域基。

子基例子

例1 設
是任意拓撲空間，則
就是它的基。
例2 設X是非空集，記
則
是集合X上的離散拓撲的基。

子基相關定理

子基定理1

設
是拓撲空間，
,則
是拓撲
的基的充分必要條件是對於任意
，任意
，存在
，使得
。 [2] 
證明： 必要性：對於
，因為
是
的基，從而
其中
，所以對於任意
，存在
，使得
充分性：任取
，若
，則取
，從而
，若
，則對於任意
，存在
使得
於是
，記
，因此
，又
，所以
是
的基。

子基定理2

設
是非空集X的一個子集族，則
是集合X 上的某一拓撲的基的充分必要條件是
滿足下列條件
(1)
；
(2)對於任意
是
中某些元素的並。
若
滿足上述兩個條件，則集合X上以
為基的拓撲是唯一的，此拓撲稱為以
為基生成的集合X上的拓撲。

子基定理3

設X為非空集，
，並且
，則集合X上存在唯一拓撲以
為子基，這個拓撲稱為以
為子基生成的集合X上的拓撲 [2]  。
證明 記
={B
B是
中有限個元素的交}.
因為
，從而
，又對於
中任意兩個元素的交是
中元素的有限交，可見
的任意兩個元素的交屬於
，於是這個交是
中元素的並。因此，從定理2中條件的充分性可知，集合X上有拓撲
以
為它的基，所以
是此拓撲
的子基，若
*是以
為子基的集合X上的另一拓撲，則根據子基定義，
*是以
為基，所以，由定理2可知
*=
。 [2] 
例3 設
，則以
為子基生成的集合X上的拓撲是
參考資料
  • 1.    《數學辭海》編輯委員會．數學辭海·第二卷：中國科學技術出版社，2002.8
  • 2.    鄭崇友,王匯淳,侯忠義,王智秋．面向21世紀課程教材 幾何學引論 （第2版）：高等教育出版社，2005年08月第2版
  • 3.    Gerald B. Folland．實分析 第2版：WILEY，1999