奇異值

設給定

，令

並假設

（a）存在酉矩陣

與

，以及一個對角方陣

使得

以及

（b）參數

是

的按照遞減次序排列的非零特徵值的正的平方根，它們與

的按照遞減次序排列的非零特徵值的正的平方根是相同的。 ^[1] 

在奇異值分解定理中，矩陣

的對角元素（即純量

，它們是方陣

的對角元素），稱為矩陣A的奇異值。A的奇異值由

的特徵值唯一地決定（等價地説，是由

的特徵值唯一地決定）。

A的奇異值

的重數是

作為

的特徵值的重數，或者，等價地説，也就是

的特徵值的重數。如果A的一個奇異值是

且

是

(或

)的單重特徵值，則奇異值

稱為單重的。 ^[1] 

矩陣A的秩等於它的非零奇異值的個數，而

不小於它的非零特徵值的個數。 ^[1] 

（1）設

，

有相同的奇異值

（2）

的兩個平方的奇異值是：

（3）設給定一個無窮序列

，並假設

（逐個元素地收斂），又設

，設

以及

分別是A與

按非增次序排列的奇異值（對

），那麼，對每個

都有

（4）設

，其中

，若A是滿秩的，當且僅當它的所有奇異值都是正數。 ^[1] 

svd函數是Matlab中對矩陣進行奇異值分解的內置函數，用法如下： ^[2] 

s = svd(A) %返回矩陣A的按降序排列的奇異值

[U,S,V] = svd(A) %對A進行奇異值分解，A = U*S*V'

[U,S,V] = svd(A,'econ')

[U,S,V] = svd(A,0)

奇異值分解法是線性代數和矩陣論中一種重要的矩陣分解法，在信號處理、統計學等領域有重要應用。

下面以在數據分析中的降噪為例。

在現實生活中，我們蒐集的數據中總是存在噪聲：無論採用的設備多精密，方法有多好，總是會存在一些誤差的。由於大的奇異值對應着矩陣中的主要信息，因此可以運用奇異值分解進行數據分析，提取矩陣的主要信息。 ^[3] 

假如我們蒐集的數據如下所示：

將數據用矩陣的形式表示：

經過奇異值分解後，得到：

由於第一個奇異值遠比第二個要大，數據中有包含一些噪聲，第二個奇異值在原始矩陣分解相對應的部分可以忽略。經過SVD分解後，保留了主要樣本點如圖1所示：