埃倫費斯特定理

量子算符的期望值對於時間的導數，跟這量子算符與哈密頓算符的對易算符，兩者之間的關係，以方程表達為：

其中，A是某個量子算符，<A>是它的期望值，H是哈密頓算符，t是時間，ℏ是約化普朗克常數。

埃倫費斯特定理是因物理學家保羅·埃倫費斯特命名。在量子力學的海森堡繪景裏，埃倫費斯特定理非常顯而易見；取海森堡方程的期望值，就可以得到埃倫費斯特定理。埃倫費斯特定理與哈密頓力學的劉維爾定理密切相關；劉維爾定理使用的泊松括號，對應於埃倫費斯特定理的對易算符。實際上，從根據經驗法則，將對易算符換為泊松括號乘以 ，再取趨向於0的極限，含有對易算符的量子定理就可以改變為含有泊松括號的經典定理。

假設，一個物理系統的量子態為

，則算符A的期望值對於時間的導數為

薛定諤方程表明哈密頓算符H與時間t的關係為

其共軛複數為

因為哈密頓算符是厄米算符，

。所以，

將這三個方程代入

的方程，則可得到

所以，埃倫費斯特定理成立：

使用埃倫費斯特定理，可以簡易地證明，假若一個物理系統的哈密頓量顯性地不含時間，則這系統是保守系統。

從埃倫費斯特定理，可以計算任何算符的期望值對於時間的導數。特別而言，速度的期望值和加速度的期望值。知道這些資料，就可以分析量子系統的運動行為。

思考哈密頓算符H：

假若，哈密頓量顯性地不含時間，

，則

哈密頓量是個常數

。

試想一個質量為m的粒子，移動於一維空間．其哈密頓量是

其中，x為位置，p是動量，V是位勢。

應用埃倫費斯特定理，

由於

，位置的期望值對於時間的導數等於速度的期望值：

這樣，可以得到動量p的期望值。

應用埃倫費斯特定理，

由於p與自己互相交換，所以，

。又在座標空間裏，動量算符不含時間：

。所以，

將泊松括號展開，

使用乘法定則，

在量子力學裏，動量的期望值對於時間的導數，等於作用力F的期望值。