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可逆線性變換
鎖定
- 中文名
- 可逆線性變換
- 外文名
- invertible linear transformation
- 所屬學科
- 數學
- 別 名
- 非退化線性變換,滿秩線性變換
- 所屬問題
- 高等代數(線性變換)
可逆線性變換可逆線性變換的定義
顯然,當σ可逆時,它的逆是唯一的,將σ的唯一逆記為σ-1。
線性變換σ的逆σ-1也是V的線性變換,稱為σ的逆變換。
當σ是可逆線性變換時,還可以定義σ的負整數次冪σ-n=(σ-1)n,其中n是非負整數。
這樣,對於可逆線性變換σ來説,
可逆線性變換相關性質及證明
定理1 設σ是線性空間V的一個線性變換,稱:
Ker(σ)= {α∈V|σ(α)=0}
為σ的核;稱:
Im(σ) =σ(V) = {σ(α)|α∈V}
為σ的像(或值域),Ker(σ)與σ(V)都是V的子空間,且:
dim Ker(σ) + dimσ(V) =n.
設ξ,η是σ( V)的任意兩個向量,那麼總存在α,β∈V,使得ξ=σ(α),η=σ(β),因為σ是V的線性變換,於是對於任意a,b∈F,有:
aξ+bη=aσ(α) +bσ(β) =σ(aα+bβ)∈σ(V),
這就證明了σ(V)也是V的一個子空間。
設dim Ker(σ) =r,在Ker(σ)中取一個基{α1;...,αr},它可以擴充為V的一個基{α1;...,αr,αr+1;...,αn},則:
{σ(αr+1),...,σ(αn)}
是像空間σ(V)的一個基。事實上,顯然有:
σ(V)=span{σ(α1),.. ,σ(αr),σ(αr+1),.. ,σ(αn)}.
注意到σ(α1)=σ(α2)=...=σ(αr)=0,因此:
σ(V) =span{σ(αr+1),...,σ(αn)}.
若
∈F使得kr+1σ(αr+1)+...+knσ(αn)=0,則:
σ(kr+1αr+1+...+knαn)=0,
於是,kr+1αr+1+...+knαn∈Ker(σ),因此存在
使得:
kr+1αr+1+...+knαn=k1α1+...+knαn
又α1;...,αr,αr+1;...,αn線性無關,故k1=...=kr=kr+1=...=kn=0,由此可見:σ(αr+1),...,σ(αn)線性無關,因此σ(αr+1),...,σ(αn)組成σ(V)的一個基,並且dimσ(V) =n-r,故dim Ker(σ) + dimσ(V) =n。
推論1 n維線性空間V.上的線性變換σ是單射的充分必要條件是σ是滿射。
證明顯然,線性變換σ是單射的充分必要條件為Ker(σ)= {0},而:
Ker(σ)={0}
dim Ker(σ)=0
dimσ(V)=n
σ(V)=V,
因此,線性變換σ是單射的充分必要條件是σ是滿射。