卡茨-穆迪代數

卡茨一穆迪代數是李代數的一個分支。是卡茨(Kac, V.)和穆迪(Moody, R.)分別於1967,1968年獨立引入的，它是有限維復半單李代數的推廣。進入20世紀80年代以來，數學家們對卡茨一穆迪代數及其表示進行了深人廣泛的研究，很多有限維復半單李代數的結果(如結構理論中的根鏈、實根重數;外爾羣中元素的長度等；表示理論中，費馬模的特徵標分式，不可約最高權模的特徵標分式等)都推廣到了卡茨-穆迪代數上。另外還得到了更豐富的結果。例如，結構理論中，關於非有限維卡茨一穆迪代數的根系的刻畫，仿射李代數的實現;表示理論中，仿射李代數的可積表示的刻畫及其實現，頂點算子等.並且發展了一些與之相關的理論。例如，卡茨一穆迪羣，維拉索羅代數及其表示理論，李超代數，量子羣等。此外還發現它對偏微分方程、組合數學、理論物理等學科具有重要的應用。 ^[2] 

李代數是一類重要的非結合代數。非結合代數是環論的一個分支，與結合代數有着密切聯繫。結合代數的定義中把乘法結合律刪去，就是非結合代數。 ^[3] 

李代數是挪威數學家S.李在19世紀後期研究連續變換羣時引進的一個數學概念，它與李羣的研究密切相關。

設F是一個域，F上的向量空間L上有一個運算〔，〕：L×L→L，如果滿足(1)對任意的x，x′，y，y′∈L和a∈F，〔x+ax′，y〕=〔x，y〕 +a〔x′，y〕，〔x，y+ay′〕=〔x，y〕 +a〔x，y′〕; (2)對每個x∈L，〔x，x〕=0; (3)對任意 x，y，z∈L，〔x〔y，z〕〕+〔y，〔z，x〕〕+〔z，〔x，y〕〕=0，則稱L是一個李代數，運算〔，〕稱為方括號運算或李乘運算，運算〔，〕滿足的3個條件分別稱為雙線性性、反交換性(CharF≠2)和雅可比恆等式。設L，L′是兩個李代數，線性映射φ：L→L′如果滿足對任意的x，y∈L，φ(〔x，y〕)=〔φ(x)，φ(y)〕，則稱φ是李代數的同態，類似的有單同態、滿同態、同構等概念。李代數L的子空間K如果在L的運算之下也是一個李代數，則稱為L的李代數。李代數L的子代數K如果還滿足對每個x∈L，y∈K，〔x，y〕∈K，則稱K是L的理想。域F上的全體n階矩陣的集合g(F)在運算〔x，y〕=xy-yx之下也做成一個李代數，稱為一般線性李代數。g(F)的任意一個子代數稱為線性李代數，跡為0的ι+1階矩陣全體做成的線性李代數稱為特殊線性李代數，記作A_ι。此外還有3類重要的線性李代數B_ι，C_ι，D_ι。A_ι，B_ι，C_ι，D_ι稱為典型李代數。每一個有限維李代數都同構於某個線性李代數。設L是一個李代數，如果存在x，y∈L，〔x，y〕≠0，而且L除了{0}和L本身以外沒有別的理想，則稱L為單李代數。設L是一個李代數，I，J是L的理想，設〔I，J〕是由{〔x，y〕 |x∈I，y∈J}張成的L的子空間，則〔I，J〕是L的理想。令L=L，L=〔L，L〕，L=〔L，L〕，如果存在正整數n，使得L={0}，則稱L是可解李代數。每個李代數L都存在一個最大的可解的理想，這個理想稱為L的根基，記作RadL。如果L≠{0}，RadL=0，則稱L是半單的。單李代數是半單的。設L是一個李代數，定義L=L，L=〔L，L〕，L=〔L，L〕，若存在正整數n，使得L={0}，則稱L是冪零的。設V是域F上的向量空間，gl(V)是V的所有線性變換在運算[x，y]=xy-yx下做成的李代數，L是gl(V)的有限維冪零子代數，則存在V的基{e₁，…，e_n}，令V_i=<e₁，…，e_i>，i=1，…，n，V₀= {0}，使得∀ x∈L，v∈V_i，xV_i∈V_i+1。這個結論稱為恩格爾定理。設域F的特徵為零，L是gl(V)的有限維可解子代數，則存在V的基{e₁，…，e_n}，使得∀ X∈L， v∈V₁，Xv∈V_i，V_i=<e₁，…，e_i>，i=1，…，n。這個結論稱為李定理。特徵零的代數閉域上的有限維半單李代數都可以寫成有限個理想的直和，每個理想都是單的。複數域或一般的特徵為零的代數閉域上的單李代數在同構的意義下只有典型李代數A_l，B_l(l≥2)，C_l(l≥3)，D_l(l≥4)和5個例外的李代數F₄，G₂，E₆，E₇，E₈。實數域上的單李代數的分類工作也已完成。特徵不為零的域上的單李代數的分類在80年代有了重要的進展，對一類稱為限制的單李代數的分類已基本完成。自60年代以來，許多數學家開始了對無限維李代數的研究，並取得了許多重要的成果。設L是一個李代數，一個李代數同態φ：L→g稱為L的一個表示，V稱為一個L-模，若V是有限維向量空間，則稱這個表示是有限維的，否則稱為無限維的。 ^[4] 

半單李代數是一類重要的李代數。設L為域F上的李代數，R為L的根基。若R={0}，則L稱為半單李代數。在L是復李代數時，若L為有限維李代數，則在L中必存在半單子代數C，使得L=C+R為空間直和，其中R為L的根基，這個分解稱為列維分解，它不惟一。列維分解指出，要弄清楚一般李代數的結構，必須弄清楚可解李代數和半單李代數的結構。關於可解李代數，知道得甚少，但是復半單李代數的結構是非常清楚的。

卡茨是一名美國數學家。生於波蘭克熱梅涅茨，卒於美國加利福尼亞。1937年獲利沃夫的楊·卡西米爾大學博士學位.1938年，到美國約翰斯·霍普金斯大學做研究工作.1943年入美國籍.1939—1961年，任教於康奈爾大學，1943年任助理教授，1947年起任教授.1961—1981年，任洛克菲勒大學數學教授，後轉到南加利福尼亞大學，直至去世.他是美國全國科學院的院士、美國藝術與科學學院院士，還是荷蘭皇家藝術與科學學院和挪威皇家科學院的院士.1965—1966年，還曾任美國數學會副主席.

卡茨的數學工作包括概率論、數論和數學物理等.1940年，他在歐拉求和公式方面曾與愛爾特希(Erdo¨s，P.)合作取得一定成果.第二次世界大戰後，他開始研究連續函數空間上關於維納測度的泛函分佈.他研究了一類泛函在做布朗運動的粒子所有軌道上的平均值的計算.他證明了n次多項式，其係數為具有相同正態分佈的均值為零的獨立隨機變量，有實根平均值(2/π)logn，證明過程中引入了一個計算隨機函數實根平均數的一般公式，現稱為賴斯-卡茨公式.他證明了可用連續函數空間的維納測度與積分理論研究一大類算子的特徵值的漸近性質並得到了位勢理論中的新的公式，他還用維納積分解微分方程.1946年，他給出了埃倫弗斯特模型的完整解.他還系統研究過一維氣體模型，與人合作引入了球面模型，給出瞭解伊辛二維模型的組合方法.晚年他主要研究一定程度上由算子譜確定算子本身的逆問題.他與人合作研究了量子力學中反散射問題的離散方法，並首次給出了週期n體託塔問題的完整解.他曾在1949年和1968年，兩次獲美國數學協會的查文尼特獎，1978年，獲美國數學會和美國工業與應用數學會聯合頒發的伯克霍夫應用數學獎。 ^[5] 

加拿大數學家。生於英國。1962年獲薩斯喀徹(Saskatchewan)大學學士學位，1964年、1966年先後在加拿大多倫多大學獲碩士、博士學位。1966年任薩斯喀徹大學助理教授，1976年晉升為教授。1989年轉阿爾伯達大學任教。1980年，他被選為加拿大皇家學會會員。他還曾多次到美國、德國、法國、印度的多所大學和研究機構講學。 ^[6] 

穆迪主要研究李羣、李代數和表示理論，近年來其興趣在非週期序的數學，特別是非週期結晶。從1967年開始，他與卡茨(Kac，V.)同時而相互獨立地發展了一類新的無限維李代數理論，其中最重要的一類現稱為“卡茨-穆迪代數”，這類代數對物理有重要影響，特別是對粒子物理、場論和弦理論等.1994年，他與卡茨共獲威格納獎章.著作有《單李代數表示的主權重數表》(1985)和《仿射代數、權重數和分支規劃》(1990;與人合著)等。