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卡拉比-丘流形
鎖定
卡拉比-丘流形定義
數學上,卡拉比-丘流形(Calabi-Yau manifold,簡稱卡丘流形)是一個的第一陳示性類為0的緊n維Kähler流形,也叫做卡拉比-丘n-流形。數學家卡拉比在1957年猜想所有這種流形(對於每個Kähler類)有一個裏奇平直流形的度量,該猜想於1977年被丘成桐證明,成為丘定理(Yau's theorem)。因此,卡拉比-丘流形也可定義為「緊裏奇平直卡拉比流形」(compact Ricci-flat Kähler manifold)。
也可以定義卡拉比-丘n流形為有一個SU(n)和樂(holonomy)的流形。再一個等價的定義是流形有一個全局非0的全純(n,0)-形式。
卡拉比-丘流形例子
在復一維的情況,唯一的例子就是環面族。注意環上裏奇平直的度量就是一個平坦度量,所以和樂羣(holonomy)是當然羣,也叫SU(1)。
在復二維的情形,環T4和K3曲面組成了僅有的實例。T4有時不被算作卡拉比-丘流形,因為其和樂羣(也是當然羣)是SU(2)的子羣而不是同構於SU(2)。從另一方面講,K3曲面的和樂羣是整個SU(2),所以他可以真正成為2維的卡拉比-丘流形。
在復三維的情況,可能的卡拉比-丘流形的分類還是為解決的問題。3維卡拉比-丘流形的一個例子是復射影空間CP4中的5次三流形。