博雷爾子羣

博雷爾子羣(Borel subgroup)是代數羣的一類可解子羣。指代數羣G的極大連通可解子羣。G的不同博雷爾(Borel，A.)子羣在G中互相共軛。例如，當G=GL(n，K)或SL(n，K)時，所有上三角矩陣組成的子羣就是一個博雷爾子羣。 ^[2] 

羣是一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構；是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。

設G為一個非空集合，a、b、c為它的任意元素。如果對G所定義的一種代數運算“·”(稱為“乘法”，運算結果稱為“乘積”)滿足：

(1)封閉性，a·b∈G;

(2)結合律，即(a·b)c = a·(b·c);

(3)對G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，則稱G對於所定義的運算“·”構成一個羣。例如，所有不等於零的實數，關於通常的乘法構成一個羣;時針轉動(關於模12加法)，構成一個羣。

滿足交換律的羣，稱為交換羣。

羣是數學最重要的概念之一，已滲透到現代數學的所有分支及其他學科中。凡是涉及對稱，就存在羣。例如，可以用研究圖形在變換羣下保持不變的性質，來定義各種幾何學，即利用變換羣對幾何學進行分類。可以説，不瞭解羣，就不可能理解現代數學。

1770年，拉格朗日在討論代數方程根之間的置換時，首先引入羣的概念，而它的名稱，是伽羅華在1830年首先提出的。 ^[3] 

子羣是羣的特殊的非空子集。羣G的非空子集H，若對G的乘法也成為羣，則稱H為G的子羣，記為H≤G。若子羣H≠G，則稱H為G的真子羣，記為HG或簡記為H<G.任何一個非單位元羣G至少有兩個子羣，G自身以及由單位元e作成的單位元羣{e}(或用{1}或1表示)，稱它們為G的平凡子羣。不是平凡子羣的子羣稱為非平凡子羣。羣G的非空子集H為G的子羣的充分必要條件是：對任意的a，b∈H，恆有ab∈H.若{H_i|i∈I}是G的子羣的集合，I是一個指標集，則所有H_i的交H_i是G的一個子羣。

代數羣是指具有某種拓撲結構的羣。代數羣理論是羣論與代數幾何學結合的產物，可以看成李羣理論的推廣或者同李羣理論平行的一個羣論分支。若G是代數閉域K上的代數簇，又具有羣的結構，且乘法運算G×G→G(這裏的“×”表示簇的扎里斯基(Zariski，O.)積)與求逆運算G→G都是簇的態射，則稱G為代數羣。若G作為簇是不可約的，則稱此代數羣是連通的。代數羣的閉子簇若同時也是個子羣，則稱為閉子羣，它仍是個代數羣。代數羣關於它的正規閉子羣的商羣也是個代數羣。例如，K上n級一般線性羣(K上n級非奇異矩陣全體所成的羣)GL(n，K)是代數羣;K上n次特殊線性羣(K上行列式1的n階矩陣全體所成的羣)SL(n，K)是GL(n，K)的閉子羣。若代數羣G的簇結構是仿射的，則稱G為仿射代數羣或線性代數羣。採用後一術語的理由是，這種羣都同構於某個GL(n，K)的閉子羣.若G的簇結構是完備的，則稱G為阿貝爾簇。阿貝爾簇的羣結構很簡單(都是阿貝爾羣)，且被簇結構惟一決定，因此它的研究屬於代數幾何學的範疇。另一方面，對任意代數羣G，總可以惟一地找到一個正規的仿射閉子羣N，使G/N是阿貝爾簇。因此，代數羣理論研究的主要是仿射的(即線性的)代數羣，並把仿射代數羣簡稱代數羣。代數羣及其表示理論與域論、多重線性代數、交換環論、代數幾何、李羣、李代數、有限單羣理論以及羣表示理論等數學分支都有十分密切的聯繫，是近年來代數學的一個相當活躍的分支。

可解羣是一種重要的羣類。即可由交換羣經有限步疊加而得的羣。若羣G有一個有限長的正規羣列G≥G₁≥G₂≥…≥G_n=1，使得每個商因子都是交換羣，則稱G是一個可解羣，或稱G是可解的。可解羣的概念源自伽羅瓦(Galois，E.)對解代數方程的研究，他發現由一個代數方程的所有解可產生一個置換羣(也就是擴域的自同構羣，稱之為一個伽羅瓦羣)，這個代數方程能用根式解出當且僅當該羣具有正規列。可解羣的名稱由此而來。霍爾(Hall，P.)於20世紀30—40年代對有限可解羣理論做了奠基性貢獻。費特-湯普森奇階定理成為另一個里程碑。近幾十年，有限可解羣研究仍屬活躍領域。例如羣系等羣類理論就始於有限可解羣研究並以可解羣為重點。對無限可解羣的研究也有了長足的進步。儘管有限可解羣的研究方法與成果不能完全推到無限可解羣，但帶交換商因子的正規列這一定義條件使很多思想與工具，如模論、表示論等，均可發揮出色的作用。 ^[4] 

博雷爾是瑞士-美國數學家。生於瑞士拉紹德林。1947年畢業於瑞士聯邦工學院；1952年獲巴黎大學博士學位.曾任教於瑞士聯邦工學院、美國芝加哥大學，1957年起，任普林斯頓高等研究院教授。他還曾任馬薩諸塞理工學院、印度塔塔研究所、法國巴黎大學、日本東北大學等院所的訪問教授.1976年，他被選為美國藝術與科學學院院士；1987年，被選為美國全國科學院院士。1962年和1974年，兩次應邀在國際數學家大會上作報告。

博雷爾主要研究李代數。950年，他和塞爾(Serre，J.P.)證明了用緊纖維對歐氏空間進行纖維表示是不可能的。他曾以“博雷爾結構”為基礎重建了史密斯理論，而且和穆爾(Moore，G.H.)一起發展了一個新的同調理論.1956年發表的“線性代數羣”是一篇經典性文獻，它使線性代數羣的發展發生了歷史性轉折.他和謝瓦萊(Chevalley，C.)等人為線性代數羣建立了一般理論。他還解決了算術羣中的共緊性(Co-Compactness)判別、商空間的緊化等問題。在最近20多年中，他在算術羣上同調及其應用和多種上同調理論方面，在自守型、實與p進李羣的無限維表示理論方面做了許多工作。現在代數羣中有“博雷爾理論”、“博雷爾子羣”和“博雷爾不動點定理”等。博雷爾在1978年獲荷蘭數學會的布勞威爾獎章，1991年獲美國數學會斯蒂爾獎，1992年獲國際巴爾扎恩(Balzan，E.)基金會頒發的巴爾扎恩獎。1983年，斯普林格出版社還出版了他的三卷本文集。 ^[5]