半準素環

半準素環(semiprimary ring)是指有冪零根的特殊環類。若J(R)是環R的雅各布森根，且J(R)是冪零的，則當R/J(R)是(阿廷)半單環時，稱R是半準素環；當R/J(R)是(阿廷)單環時，稱R是準素環；當R/J(R)是除環時，稱R是完全準素環。準素環是完全準素環上的全矩陣環。若R是半準素環，則R是右阿廷環當且僅當R是右諾特環。

對並與差運算封閉的集類，測度論中重要概念之一。設F是Ω上的一個非空集類。如果它對集的並及差運算封閉，即對任何A，B∈F，都有A∪B∈F，A\B∈F，則稱F為Ω上的環。例如，若F是由實直線R上任意有限個左開右閉的有限區間的並集： ^[1] 

的全體構成的集類，則F是R上的一個環。環也是對於交與對稱差運算封閉的集類，並按這兩種運算成為布爾環。要把R上的勒貝格測度和勒貝格-斯蒂爾傑斯測度以及相應的積分理論推廣到更一般的集合上，就需要做一系列奠基工作，其中之一是建立一些特殊的集類並研究其性質。環以及半環、σ環、代數、σ代數等重要集類正是為了這一目的而引入的。

與羣論中單羣類相對應的基本環類。一個環(代數)R，若只有平凡理想(即除R和零理想外不含其他理想)，則稱R為弱單環或單純環(弱單代數)。弱單環(弱單代數)可分兩類：一類是R≠0，此類環(代數)稱為單環(單代數)，它的冪零根為零；另一類是R=0，R稱為零乘環，它的冪零根是R本身.域F上的全矩陣環是單環，也是F上的單代數。F上有限維單代數必含單位元。

素環是一類重要的環。若環R的零理想是素理想，則稱R為素環。環R是素環當且僅當下列等價條件之一成立：

1.設A，B是R的理想，若AB=(0)，則A=(0)或B=(0)。

2.R中任意非零左(右)理想的左(右)零化子為零。

3.對任意x∈R，若RxR=(0)，則x=0。

例如，整環、單環、本原環都是素環。素環與素理想有如下關係：P是R的素理想當且僅當R/P是素環。

準素環是指接近素環的特殊環類。一個有單位元的交換環R，若它最多含一個素理想P，則稱R為準素環。例如，域是準素環。若交換環R的準素理想Q有極大理想M作為其相伴素理想，則R/Q也是準素環。任意滿足降鏈條件的有1交換環R，可惟一分解為諾特准素環的直和。 ^[2] 

一類具有降鏈條件的環。它是阿廷(Artin，E.)引入的。對左(右)理想滿足降鏈條件(或説對左(右)理想滿足極小條件)的環稱為左(右)阿廷環。左阿廷環未必是右阿廷環。阿廷環R的一切冪零(單側和雙側)理想的和，記為N，稱為R的冪零根。N是R的最大冪零理想，且R/N不含非零的冪零單側理想.。但對一般環(或代數)不成立.冪零根也稱古典根，對域上有限維代數，可同樣定義冪零根。阿廷對類域論、實數域理論、代數數論及拓撲學的辮子理論都有重要貢獻。他於1927年創立的阿廷環理論推動了抽象代數學的發展。

半單阿廷環是一種特殊的阿廷環。即冪零根為零的阿廷環。環R是半單阿廷環當且僅當左(右)正則模是半單模。常簡稱半單環。著名的韋德伯恩-阿廷定理給出：R是半單環的充分必要條件是R為有限個單阿廷環的直和，若不計順序則是惟一的。並且，單阿廷環同構於一個除環D上有限維向量空間的線性變換環。換言之，單阿廷環同構於某除環D上全矩陣環D_n，其中n是單阿廷環表為極小左理想的直和的長度。這一定理是對有限維半單代數結構定理的完美推廣。

以右(左)擬正則性為根性質的一種重要的根。設R是任意環，若R有本原理想，則環R的一切本原理想的交稱為R的雅各布森根，用J(R)表示.當R無本原理想，規定J(R)=R，此時R稱為J根環(雅各布森環)。雅各布森根還可以從多種角度描述：J(R)等於R的一切左本原理想的交，又等於R的最大的右擬正則理想，它包含R的一切右擬正則右理想，還等於R的最大左擬正則理想，它包含R的一切左擬正則左理想，同時，亦等於R的一切模的極大右理想的交，也等於R的一切模的極大左理想的交，又等於{x∈R|xa是右擬正則，對任意a∈R}.雅各布森根是雅各布森(Jacobson，N.)於1945年引入的。 ^[3]