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共軛函數
鎖定
共軛函數亦稱對偶函數、極化函數，函數的某種對偶變換。設f為實線性空間X上的擴充實值函數，X*為X的某個對偶空間，即由X上的一些線性函數所構成的實空間，那麼f的共軛函數f*是X*上的擴充實值函數。共軛函數的概念在研究極值問題的對偶理論中起着本質作用。19世紀，法國數學家勒讓德首先在力學中引進類似的概念，那是把速度變為動量的變換，對於力學方程來説，這就使得拉格朗日方程變為哈密頓方程。今天，人們就稱這樣的變換為勒讓德變換，勒讓德變換的概念實際上出現得比對偶空間或共軛空間的概念還要早，應該説，後一概念的起源之一就是勒讓德變換。20世紀50年代，芬切爾又把勒讓德變換進一步抽象為共軛函數的概念，因此，今天人們又把函數到其共軛函數的變換稱為勒讓德-芬切爾變換。
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- 中文名
- 共軛函數
- 外文名
- conjugate function
- 別 名
- 對偶函數
- 別 名
- 極化函數
- 相關人物
- 勒讓德、芬切爾等
- 相關概念
- 勒讓德變換、對偶變換等
- 定 義
- 函數的某種對偶變換
共軛函數定義
設函數
，定義函數
為
圖1
顯而易見，
是凸函數，這是因為它是一系列
的凸函數(實質上是仿射函數)的逐點上確界。無論f是否是凸函數，
都是凸函數。(注意到這裏當
是凸函數時，下標
可以去掉，這是因為根據關於擴展值延伸的定義，對於
)。
共軛函數基本性質
Fenchel不等式
從共軛函數的定義我們可以得到，對任意
和
，如下不等式成立
以函數
為例，其中
，我們可以得到如下不等式
共軛的共軛
可微函數
設函數f是凸函數且可微，其定義域為
，使
取最大的
滿足
，反之，若
滿足
，
在
處取最大值。因此，如果
，我們有
我們亦可以換一個角度理解。任選
，令
，則
伸縮變換和複合仿射變換
若a>0以及b∈R，
的共軛函數為
。
設
非奇異，
，則函數
的共軛函數為
獨立函數的和
如果函數
，其中
和
是凸函數，且共軛函數分別為
和
，則
共軛函數舉例分析
共軛函數仿射函數
共軛函數負對數函數
共軛函數指數函數
共軛函數負熵函數
