八維空間

在數學中， 一個n實數的序列可以被理解為n維空間中的一個位置。當n等於八時，所有這樣的位置的集合被稱為八維空間。 通常這種空間被研究為一個向量空間，而沒有任何距離的概念。 八維歐幾里得空間是一個配備了一個歐幾里得距離的八維空間，它由點積定義。 ^[1] 

更廣義的來説， 該術語可以指任何體上的八維向量空間，例如八維復矢量空間，其實際有着十六個維度。 它同時也可能指八維流形例如八維球面，或其它各種幾何構造。

現在物理學界公認的理論是八維空間，這一理論由德國物理學家巴克哈德 海姆於1957年創立，隨後由其本人進一步地發展與完善，並得到了一些新的成果，其中之一就是總結出了一系列計算基本粒子質量的方程式。1977年他將方程發表，但由於太複雜，竟沒幾個物理學家看得懂，後來經實驗證明了其正確性。由於他的理論多用德語發表，所以大部分物理學家都認為這些論點晦澀難懂，不知所云，感到丈二和尚摸不着頭腦。1980年，海姆的理論引起了奧地利物理學家沃爾特德呂舍爾的注意，他仔細研究後，對理論作了詳盡的解釋，並進一步完善，於是就有了今天公認的海姆－德呂舍爾空間，即一種八維的宇宙空間結構（我們現在就處於這一空間內）。

屬於一條直線的兩個點確定這條直線。

屬於一條直線的兩個平面確定這一條直線。

屬於同一個點的兩條直線也屬於同一個平面。

屬於同一個平面的兩條不平行直線，也屬於同一個點。

屬於同一條直線的兩個三維空間也屬於同一個平面。

屬於一個平面的兩個共存的三維空間確定這一個平面。

八維是八元數能夠自然存在的空間。八元數是一種非常奇怪的數學結構，

八元數是僅有的可以進行除法運算的四種數制（注：實數、複數、4元數、8元數）之一，能夠允許所有的代數運算，但八元數的運算方式複雜異常，不像我們熟悉的傳統數制中的任何一個。

目前應用尚不明確。

在八維空間中的多胞形都被稱為八維多胞形。 最常見的是正多胞形，而這些正多胞形在八維空間中只有三個：八維單純形，八維超方形，八維正軸形。而更廣義的類型是八維均勻多胞形，是由反射的基本對稱羣構造出的，每一個域由考斯特羣定義。每一個均勻多胞形是由一個環形考斯特圖定義的。八維半超方形是一個D8家族中的一個特殊多胞形，而4₂₁，2₄₁，以及1₄₂則是屬於E8家族。

七維球面，或是八維空間的超球體， 是一個從七維曲面到中心點皆等距的超球體。它的符號為S， 而關於七維球面的方程式，設半徑為r，其超球心為

而這個七維球面在八維空間的體積是

也就是4.05871 ×r，而一個八維超立方體中最大的內接八維超球大約等同於該八維超立方體的0.01585倍。

八元數是是實數的規範除法代數，最大的數，如代數。在數學中，它們可以由實數八元數來區別， 所以形成一個真實的八維向量空間，有着一個附加的向量，是代數中的附加。 一個規範代數是一個有者着積的代數並對於所有代數中的x和y 符合以下公式： ^[2] 

其中一個範例多元體另外必須是有限維的，並有着每一個非零的向量有一個特殊倒數的屬性胡爾維茲定理禁止像四元數以及八元數這樣的代數結構在除了1，2，4和8之外的維度的存在。

複雜的四元數

，或稱為"復四元數，" 是一個威廉·哈密頓於1850年對於八維代數的研究。這個代數同等於（"同等"一詞在此指同構）克里福代數

以及泡利矩陣。 它也被提議做為在狹義相對論中進行運算的用具，而此運算用具的名稱為"物理空間代數"。 （不要與有十六個維度的時空代數混淆了。）