傳遞閉包

對於任何關係 R，R 的傳遞閉包總是存在的。傳遞關係的任何家族的交集也是傳遞的。進一步的，至少存在一個包含 R 的傳遞關係，也就是平凡的: X × X。R 傳遞閉包給出自包含 R 的所有傳遞關係的交集。 ^[1] 

我們可以用更具體術語來描述 R 的傳遞閉包如下。定義在 X 上的一個關係 T，稱 xTy 當且僅當存在有限的元素(

)序列，使得

並且

,

, …,

和

容易檢查出關係 T 是傳遞的並且包含 R。進一步的，任何包含 R 的傳遞關係也包含 T，所以 T 是 R 的傳遞閉包。

關係 R 的傳遞簡約是有 R 作為它的傳遞閉包的最小關係。一般的説它不是唯一的。

設 A 是任何元素的集合。

假定: GA 傳遞關係 RAGA TAGA。所以 (a,b)GA(a,b)TA. 所以，特定的 (a,b)RA。

現在通過 T 的定義，我們知道了 n (a,b)RnA。接着，i, in eiA。所以，有從 a 到 b 路徑如下: aRAe1RA...RAe(n-1)RAb。

但是，通過 GA 在 RA 上的傳遞性，i, in (a,ei)GA，所以，(a,e(n-1))GA (e(n-1),b)GA，所以通過 GA 的傳遞性，我們得到了 (a,b)GA。矛盾於 (a,b)GA。

因此，(a,b)AA, (a,b)TA (a,b)GA。這意味着 TG，對於任何包含 R 的傳遞的 G。所以，T 是包含 R 的最小傳遞閉包。

如果 R 是傳遞的，則 R = T。

注意兩個傳遞關係的並集不必須是傳遞的。為了保持傳遞性，必須採用傳遞閉包。例如，這出現在取兩個等價關係或預序的並的時候。為了獲得新的等價關係或預序，必須選用傳遞閉包(自反性和對稱性 — 在等價關係的情況下 — 是自動的)。 ^[2] 

有向無環圖(DAG)的傳遞閉包是 DAG 的可到達性關係和一個嚴格偏序。

在計算複雜性理論中，複雜度類 NL 嚴格對應於可使用一階邏輯和傳遞閉包表達的邏輯句子的集合。這是因為傳遞閉包性質有密切關係於 NL-完全問題 STCON，找到在一個圖的有向路徑。類似的，類 L 是一階邏輯帶有交換傳遞閉包。在向二階邏輯增加了傳遞閉包的時候，我們得到 PSPACE。

計算圖的傳遞閉包的有效算法可見於 here。最簡單的技術是Floyd-Warshall算法。 ^[3] 

單獨一條邊的路徑也不一定是最佳路徑。 從任意一條單邊路徑開始。所有兩點之間的距離是邊的權的和，(如果兩點之間沒有邊相連, 則為無窮大）。 對於每一對頂點 u 和 v，看看是否存在一個頂點 w 使得從 u 到 w 再到 v 比己知的路徑更短。如果是更新它。 不可思議的是，只要按排適當，就能得到結果。// dist(i,j) 為從節點i到節點j的最短距離

For i←1to n do

For j←1to n do

dist(i,j) = weight(i,j)

For k←1to n do// k為“媒介節點”{一定要先枚舉媒介節點}

For i←1to n do

For j←1to n do

if(dist(i,k) + dist(k,j) < dist(i,j))then// 是否是更短的路徑？

dist(i,j) = dist(i,k) + dist(k,j)

這個算法的效率是O(V^3)。它需要鄰接矩陣來儲存圖。

這個算法很容易實現，只要幾行。

即使問題是求單源最短路徑，還是推薦使用這個算法，如果時間和空間允許(只要有放的下鄰接矩陣的空間，時間上就沒問題)。

計算每一對頂點間的最短路徑（floyd算法）

for(k=0;k

{

for(i=0;i

{

for(j=0;j

{

if(distance[i][j]>distance[i][k]+distance[k][j])

{

distance[i][j]=distance[i][k]+distance[k][j];

}

}

}

}