二階邏輯

二階邏輯的各種形式的表達力密切的連繫於計算複雜性理論。特別是:NP是用存在性二階邏輯可表達的語言集合。 co-NP是用全稱二階邏輯可表達的語言的集合。 PH是用二階邏輯可表達的語言的集合。PSPACE是用帶有增加的傳遞閉包算子的二階邏輯可表達的語言的集合。EXPTIME是用帶有增加的最小不動點算子的二階邏輯可表達的語言的集合。 在這些語言類之間的聯繫直接影響了邏輯的相對的表達力；例如，如果PH=PSPACE，則向二階邏輯增加的傳遞閉包算子不使它更有表現力。

當謂詞邏輯被弗雷格(獨立的和更有影響力的 Peirce，他提出了術語二階邏輯)介紹給數學社區的時候，他確實使用不同的變量來區分在物體上量化和在屬性和集合上的量化；但是他自己沒有去區分出兩類不同的邏輯。在發現羅素悖論之後，認識到了他的系統有些毛病。最終邏輯學家建立了以各種方式做限制的 Frege 邏輯— 叫做一階邏輯—除去了這個問題: 集合和謂詞在一階邏輯中不能被單獨量化。標準的邏輯的階數等級就是從那時開始的。

發現了集合論可以在一階邏輯的設施內公式化為公理化系統(損失了某種完備性，但是不至於向羅素悖論那麼糟糕)，並且真就這麼做了(參見Zermelo-Fraenkel 集合論)，因為集合是數學的關鍵。算術、mereology 和各種其他強力邏輯理論可以被公理化的公式化，而不用使用比一階量化更多的邏輯設施，隨着哥德爾和 Skolem 忠於一階邏輯，導致了對二(或更高)階邏輯的工作的普遍放棄。

這種捨棄由一些邏輯學家活躍的推動着，最著名的是蒯因。蒯因推進了這種觀點，在謂詞語言句子比如 Fx 中，"x" 被認為是一個變量或指稱一個物體的名字，所以可以被量化，如"對於所有的東西，情況是 . . ." 。但是 "F" 被認為是一個不完整句子的一個縮寫，不是一個物體(甚至不是抽象的物體如性質)的名字。例如，它可能意味着" . . . 是個狗"，認為在這種事物上可以做量化是沒有什麼意義的。(這種立場同弗雷格自己對概念-物體區別的討論是非常一致的)。所以要使用一個謂詞作為變量就要讓它佔據只有個別的變量可以佔據的一個名字的位置。這種推理被 Boolos 拒絕了。

近年來二階邏輯有某種程度的恢復，由 George Boolos 把二階量化解釋為在同一階量化一樣的域上的複數量化所支持。Boolos 進一步指出句子的非一階可表達性，比如 "有些罪犯只相互傾慕" 和 "有些 Fianchetto 人進入倉庫而沒有任何別人陪同"。 這隻能用二階量化的完全力量來表達。(實際上這不是真的，因為一般性的量化和偏序的(或分支的)量化同樣足以表達特定類的非一階可表達的句子而不使用二階量化)。

但是，已經説過在有些數學分支中比如拓撲學中，需要二階邏輯的能力來做完整的表達。這方面的工作已經由 Stephen G. Simpson 在逆數學的名義下完成了。已經證明了二階邏輯不只對錶達經典數學的某些重要部分是必須的，而且它也可以用做模型論和數學基礎的工具。

黎曼猜想的：所有 “零點” 是一個集合，零點是這個對象上的函數，按照通常數學中定義，一個n元函數就是從論域A的個體的所有n元組的集合至A的一個映射。當我們用“所有個體”“存在個體”，量詞加在論域的個體上，稱為一階量詞。“ ^[1] 

” 所有函數”，“存在函數”，“所有關係”，“存在關係”是二階量詞，即二階邏輯。黎曼所説的“所有零點”就是“所有函數”的二階量詞。

黎曼猜想已經超出了G弗雷格建立的一階邏輯形式系統（即謂詞演算），涉及極為複雜的邏輯系統，一般的數學家對此毫無所知。

如果你不能理解二階邏輯，我做一個比喻，“加速度”不是一個基本量（例如長度或者質量什麼的），它是二階變化率，即變化率的變化率。物理學二階邏輯問題還有三體問題（月球、地球、太陽）和多體問題，都是無法一次性解決的問題。 ^[2] 

當所有的主項能夠成立必須依賴於謂項成立的命題就是二階邏輯命題。所有的數學定理都是一階邏輯問題。

數學中有所謂“超越數”，就是比無理數還要無理的數，例如圓周率：π = 3.1415926535898....和e= 2.718281828459.....。

為什麼人們無法得出一個精確的數值？

割圓術中，不斷地利用勾股定理，來計算正N邊形的邊長，N每增加一個數值（一階變化率），就會引起二階變化。因為，它們是二階變化率，例如只要知道計算圓周率的過程就自然而然知道了為什麼。

千禧年p=np問題就是二階邏輯問題

弗里曼-戴森在【青蛙和鳥】中寫道：持續探索混沌和許多被電子計算機打開的新領域時，數學在變得越來越複雜。數學家發現了可計算性的中心謎團，這個猜想表示為P不等於NP。

這個猜想聲稱：存在這樣的數學問題，它的個案可以被很快解決，但沒有適用於所有情形的快速算法可解決所有問題。

這個問題中最著名的例子是旅行銷售員問題，即在知道每兩個城市之間距離的前提下，尋找這位銷售員在這一系列城市間旅行的最短路徑。所有的專家都相信這是猜想是正確的，旅行銷售員的問題是P不等於NP的實際問題。但沒有人知道證明這一問題的一點線索。在赫爾曼-外爾19世紀的數學世界中，這個謎團甚至還沒有形成。

這裏的問題就是二階邏輯問題，城市數n每增加一個就是一階變化率，城市間距離就發生二階變化率。