偏回歸係數

多元線性迴歸方程Y=a+b₁X+b₂X+…+b_mX_m中，各個自變量X_i的係數b_i(i=1，2，…，m)，稱為因變量Y對自變量X_i的偏回歸係數，相應的總體偏回歸係數用βi表示。b_i表示當其他自變量取值固定時，X_i變化(增加或減少)1個單位，則Y平均變化b_i個單位，是反映Y隨X_i數量變化的方向和大小(或快慢)的指標。b_i>0，Y隨X_i增加而增加；b_i<0，Y隨X_i增加而減少。|b_i|值越大，Y隨Xi變化越大(或越快)。b_i的標準誤為：

MS剩即多元線性迴歸方程的方差分析表中的剩餘均方，C_ii為自變量離差矩陣[lij]m×m的逆矩陣[C_ii]m×m的對角線上的元素。bi的顯著性檢驗用t檢驗：

ν=n-m-1。零假設(H0)是βi=0。 ^[2] 

在多元迴歸分析中，隨機因變量對各個自變量的迴歸係數，表示各自變量對隨機變量的影響程度。

偏回歸係數（partial regression coefficient）是多元迴歸問題出現的一個特殊性質，如何理解、辨認和求取偏回歸係數正是本文要討論的。為了簡化問題，我們把對偏回歸係數的討論，限定為只有2個解釋變量的系統,即建立的經濟計量模型為Yi=β0+β1X1i+β2X2i+ui(1) ，迴歸方程為^Yi=^β0+^β1X1i+^β2X2i(2)，式中^βi(i=0,1,2)為偏回歸係數。

一、X1增加一個單位引起Y的增加量肯定是偏迴歸係數^β1嗎?

為了回答這個命題,首先,必須進行因素影響分析,即X1,X2對Y的作用關係分析。具體講,這種作用關係有四種：其一是X1本身變化對Y的淨作用；其二是X2的變化引起X1的相應變化。

二、X1變化對Yi的影響程度到底有多大呢？

首先，在考慮偏導數的時候，我們認為其他解釋變量保持不變，即當做常數來處理（類似於微積分中的偏導數），本例中把X2看做常數，則X1變化一個單位，會引起Yi變化β1個單位，β1就為偏回歸係數

偏回歸係數的本質：就是自變量對因變量影響程度。但是，這種沒有經過任何處理的迴歸係數因為有時自變量的變異程度和均數有時差別很大，直接用偏回歸係數無法比較各個自變量影響程度。 所以，必須進行處理，即進行標準化，標準化後即可以直接比較。其實，還有許多係數，都是因為自變量量綱不同，需要進行標準化，例如偏相關係數等。

偏心的迴歸方程。

標準化變量的多元線性迴歸方程=b₁′X₁′+b₂′X₂′+…+bm′Xm′中，各個標準化自變量X_i′的係數b_i′(i=1，2，…，m)。相應的總體標準化偏回歸係數用βi′表示。標準化偏回歸係數b_i′消除了原偏回歸係數b_i的單位，表示當其他標準化自變量取值固定時，X_i′變化1個單位(即X_i變化1個標準差)，則Y′平均變化b_i′個單位(即Y平均變化b_i′個標準差)，是反映′隨X_i′數量變化的方向和大小(或快慢)的指標。標準化偏回歸係數的絕對值一般小於1。b_i′和b_i的關係為：

l_ii為X_i的離均差平方和，l_yy為Y的離均差平方和。bi′的標準誤和b_i的標準誤的關係為：

標準化偏回歸係數b_i′用以比較各自變量X_i對應變量Y的作用大小，|b_i′|值越大，X_i對Y的作用越大。但嚴格比較，要作兩個標準化偏回歸係數b_i′和b_j′的差別的顯著性檢驗，在差別有顯著性的前提下才能比較。 ^[3]