位數碼和

設n是一個非負整數。 它在p進制下表示為n=a_kp^k+a_p^+...+a_1p+a_0, 此處 a_i是小於p的非負整數。 我們記 s_p(n)=a_+a_[k-1]+...+a_1+a_0。

s_p(n) 被稱為n在p進制下的位數碼和。

對位數碼和的研究方法也多種多樣，即可以是初等數學的方法，也可以是解析數論或者代數數論的方法。

關於位數碼和的第一個深刻結果，是由Delange 得到。 他證明了下面的結論：

（Delange定理）： s_10(1)+s_10(2)+...+s_10(n)= 9/2 (nlog_10 n) +n F(log_10 n),

此處 $F(x)$ 是一個週期為1的處處不可微的連續函數。

函數 F（x） 實際上可以用黎曼Zeta函數構造出來。 這一結果反應了某種概率分佈規律。 Erdos 曾經研究過這一類的概率問題。 有興趣的朋友可以參看“數論導引”講一致分佈的那一章。