代數表示論

代數表示論是二十世紀七十年代初興起的代數學的一個新的分支。它的基本內容是研究一個Artin代數上的模範疇。

代數表示論就是研究一個給定的Artin代數是有限型還是無限型。若是有限型，確定其全體不可分解模；若是無限型，給出模的分佈情況。我們大家所熟悉的Jordan標準型就可以看作是單變元多項式環的商環的表示。

事實上，令A是複數域C上的任意nxn矩陣，則C[A]是C上的有限維向代數，C[A}上的模是一個複數域上的有限維向量空間V，帶有一個到自身的線性變換A。A的具不同特徵值的最大若當塊的階數之和就是C[A]上的互不同構的不可分解模的個數。如果説經典結構理論是直接刻畫代數的構造，現代的代數表示論則是用模論的方法研究一個代數的結構。 ^[1] 

在近二十五年的時間裏，這一理論有了很大的發展並逐步趨於完善。主要內容包括Hall代數的基本理論及其方法，並且着重指出了利用這一理論和方法通過代數表示論去實現Kac-Moody李代數及相應的量子包絡代數；擬遺傳代數及其表示理論，以及這一理論與復半單李代數及代數羣的表示理論等的聯繫。

早在二十世紀初，Wdederburn的著名定理便完全刻畫了有限維半單代數的結構，這種代數同構於有限個除環上的全矩陣代數的直和，其上的模都是半單模。那麼，非半單代數的結構又如何呢?經典的結構理論是將一個代數劃分為根和半單兩部分，將代數看作它的根藉助半單部分的擴張。並由冪零根發展到諧零根、Jacobson根等各種不同性質的根。一般來説，半單部分能夠給出較好的刻畫，但根的結構非常複雜。為此專門發展起了“根論”，進行這方面的研究。

1945年，美國數學家Baruer和Tharn提出了關於有限維代數的兩個猜測。第一，“有界表示型代數是有限的。”第二，“對於任意一個無限表示型代數，存在無限多個自然數d，使得維數等於d的模有無限多個。”這兩個猜測成為代數表示論的起源。

所謂一個代數是有限表示型的，是指它僅有有限多個（在同構意義下）不可分解模，反之，稱為無限型的。眾所周知，一個代數的模與代數的表示，即代數到一個全矩陣代數的同態像是一回事。如果我們把這樣的一個同態像看作是原來代數的一張照片，則有限表示型代數是用有限張照片就可以揭示清楚的一種代數，當然比較簡單。而無限型代數則需用無限多張照片才能表達。 ^[1] 

在Brauer—Throl提出他們猜測後的二十多年中，試圖解決這兩個猜測的工作一直沒有實質性的進展。直到1968年，蘇聯數學家Rojetr的文章：“無限表示型代數上不可分解模的維數的無界性”，對域上有限維代數證明了Brauer一Tharl第一猜測。這篇文章可稱作代數表示論的開端。

1969年，Kac—Mody定義了廣義Cartan矩陣，使李代數的理論有了極大的突破。由於這件事的啓發，瑞士數學家Gabriel於1972一1973年發表了“不可分解表示Ⅰ與Ⅱ”，運用圖和二次型的方法對代數閉域上有限維路代數的表示型進行了完全的分類。

1974—1977年，美國數學家Ausladner和挪威數學家Rieten發表了他們的系列文章：“Airtn代數的表示理論Ⅰ—Ⅳ”，運用同調手法研究不可分解模，提出了幾乎可裂序列這一重要概念，奠定了代數表示論的理論基礎。 ^[1] 

一個以有限p-羣的同構類為基的自由Abel羣可以賦予一個乘法，它的結構常數是某些有限p-羣的某種濾鏈的個數。以這種方式得到一個有單位元的結合環（Z_p），稱它為p-adic整數環Zp的Hall代數。它是一個交換環並且在代數和組合的理論中起着重要作用。這種Hall代數首先被E。Steinitz，後來被Ph。Hall所研究。 ^[1] 

1990年，C。M。Ringel將Hall代數的推廣建立在相當任意的環──finitary環（特別是有限域上的有限維代數）上。此時的Hall代數一般不交換，它相應的李代數引起了他的注意。他的一系列研究結果表明，Hall代數是一類非常重要的代數，用它可實現許多Kac-Moody李代數及相應的量子包絡代數。這種通過Hall代數理論建立的代數表示論與李理論的聯繫是值得進一步研究的。

限制Hall代數是有限域上的有限維代數的Hall代數，並約定：　k是一個有限域，A是一個k上的有限維代數，它是結合的並且有單位元；記modA是所有的有限維左模的範疇，ind，A是由所有不可分解A-模的同構類的代表元構成的滿子範疇；對任意M∈modA，記[M]為M的同構類；另外，Z與Q分別表示整數環與有理數域，並且用S表示集合S的基數。

對M，N₁，N₂，…，N_t∈modA，設F^M_{Nt，Nt-1，…，N1}是M的如下濾鏈的個數：

使得，1≤i≤t。（注意：如果N₁，N₂，…，N_t都是單模，F^M_{Nt，Nt-1，…，N1}恰好是M的具有預先給定合成因子的合成列的個數。）

特別地，對M，L，N∈modA，F^M_{Nt，Nt-1，…，N1}是M的子模U的個數：，並且。

代數A的（整）Hall代數H（A）定義如下：它是一個具有基{u[M]}M∈modA的自由Z-模並且有乘法

注意A的基數是有限的。故對固定的L，N∈modA，幾乎所有的F^M_LN為零。於是上式的右邊是一個有限和。以這種方式H（A）成為一個結合環且有單位元u_[0]。 ^[2] 

設K（modA）是modA的關於可裂正合列的Grothendieck羣，它是以所有不可分解A-模的同構類為基的自由Z-模。我們自然辯認K（modA）是H（A）₁的子加羣。

定理：設A有Hall多項式。那麼子羣K（modA）是H（A）₁的一個李子代數，並且它們分別在有理數域上擴張之後，Hall代數H（A）₁*_ZQ恰是它的李子代數K（modA）_ZQ的泛包絡代數。

Ringel在他的有關Hall代數的第一篇文章中證明了任一直向代數有Hall多項式。郭給出了任一循環單列代數的Hall多項式的一種公式表達式，從而解決了這類代數的Hall多項式的存在性問題。

這兩類代數都是有限表示型且是兩個極端情形的代數類，一類是每個不可分解模都直向，另一類是每個不可分解模都不直向。基於這種觀察，Ringel猜測：任一有限表示型代數有Hall多項式。 ^[2] 

擬遺傳代數的概念是由E。Cline，B。Parshall及L。Scott提出的，其目的是為了研究在復半單李代數及代數羣的表示理論中出現的最高權範疇。研究結果表明擬遺傳代數是相當普遍的，許多自然出現的代數被證明是擬遺傳代數，如遺傳代數，Schur代數，Auslander代數等

設A是域k上的有限維代數。如果χ是一個A-模類，我們用F（χ）記modA的滿子範疇，其中的每個對象具有一個子模鏈使得每個因子同構於χ中的某個對象。

設E（i）（i∈Λ）是所有的互不同構的單A-模，這裏的指標集Λ是一個帶有偏序關係≤的偏序集。對於每個i∈Λ，設P（i）與Q（i）分別是E（i）的投射蓋與內射包。我們用△（i）記P（i）的使得其合成因子具有形式E（j）（j≤i）的極大商模。對偶地，用（i）記Q（i）的使得其合成因子具有形式E（j）（j≤i）的極大子模，用△與記由△（i）與（i），i∈Λ，構成的模類。

代數A（更確切地説，二元對（A，Λ））被叫做擬遺傳代數，如果

（i）End（△（i））k，對於所有的i∈Λ；

（ii）每個投射模屬於F（△）。

對於擬遺傳代數（A，Λ），我們稱Λ為A的權集，Λ的元素為A的權。對於每個權i∈Λ，稱△（i）為標準模（在特殊情形下，也叫做Verma模，或者Weyl模），稱（i）為餘標準模。擬遺傳代數（A，Λ）的模範疇與其標準模集△成為由Cline，Parshall及Scott定義下的一個權集為Λ的“最高權範疇”。相反地，任意一個帶有有限權集的最高權範疇都可看成某個擬遺傳代數的模範疇。由於標準模與餘標準模的對偶性，一個擬遺傳代數的反代數也是擬遺傳的。 ^[2] 

目前代數表示論的研究偏重於Taoe型代數。這是由於有限表示型代數被認為已經瞭解得比較透徹。這就意味着，對任意給定的維數己，有限表示型d維代數只有有限多個。

另一方面，野型代數含有同時進行兩個線性變換的不可解問題，被認為是難以下手的。因而僅僅對某些具體的野型代數有一些個別的結論。而Tame代數是一種最簡單的無限表示型代數，可以認為它的模範疇僅由若干（有限、可數無限或不可數無限）有限維k[x]一模範疇拼在一起組成。

Bognart曾運用二次型的正定性來判斷一類代數是否是有限表示型的，由此，deIaPena曾試圖運用二次型的半正定性來判斷一類代數是否是Tame表示型的。他發現二次型的半正定性是Tame表示型的必要而不充分條件。於是他給代數附加了一系列限制來考慮這個問題。

運用Bocs的理論研究Tame代數是一個自然的，但相當困難的途徑。目前Brener、Butler和他們的學生討論了Bocs表示範疇中的幾乎可裂序列。我國北師大代數表示論研究小組也正試圖運用Bocs解決Tame代數AR—箭圖的構造。 ^[1]