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代數整數環
鎖定
代數整數環(ring of algebraic integers)亦稱整數環,是一種特殊的交換整環,代數數域K中的代數整數全體OK稱為K的整數環,K是OK的商域,設L⊃K是兩個數域,則OL是OK在L的整閉包,OL也是有限生成的OK模,OK是戴德金環,其理想可惟一(不計次序)分解為其素理想的乘積,OK是惟一析因環當且僅當OK是主理想環,這也等價於K的理想類數為1。由戴德金環上模結構定理(施泰尼茨(Steinitz,E.)(1912年)-卡普蘭斯基(Kaplansky,I.) (1952年))知,OL ≌On-1K⊕J,式中n=[L∶K],J是K中理想,J的理想類由L和K惟一決定。特別地,當J為主理想時(例如,當K的理想類數為1時總是這樣),有OL≌OnK,即存在ω1,ω2,…,ωn∈OL使OL=OKω1⊕…⊕OKωn
[1]
。
- 中文名
- 代數整數環
- 外文名
- ring of algebraic integers
- 所屬學科
- 數學
- 別 名
- 整數環
- 屬 性
- 一種特殊的交換整環
- 所屬領域
- 數論(代數數論)
- 定 義
- 代數數域K中的代數整數全體OK稱為K的整數環
代數整數環基本介紹
代數整數環(ring of algebraic integers)亦稱整數環,是一種特殊的交換整環,代數數域K中的代數整數全體OK稱為K的整數環,K是OK的商域,設
是兩個數域,則OL是OK在L的整閉包,OL也是有限生成的OK模,OK是戴德金環,其理想可惟一(不計次序)分解為其素理想的乘積,OK是惟一析因環當且僅當OK是主理想環,這也等價於K的理想類數為1。由戴德金環上模結構定理(施泰尼茨(Steinitz,E.)(1912年)-卡普蘭斯基(Kaplansky,I.) (1952年))知,
,式中n=[L∶K],J是K中理想,J的理想類由L和K惟一決定。特別地,當J為主理想時(例如,當K的理想類數為1時總是這樣),有
,即存在ω1,ω2,…,ωn∈OL使OL=OKω1⊕…⊕OKωn
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代數整數環代數整數
代數整數(algebraic integer)亦稱整數,代數數的一種。它是有理整數(即自然數、零及其相反數)的推廣。設α為複數,若存在係數為有理整數的首一(即最高次項係數為1)多項式f(x)使f(α)=0,則稱α為代數整數。若上述f(x)的常數項為±1,則α稱為單位,所有整數全體構成一個交換環I,其商域(或稱分式域)即為代數數全體構成的域A,單位即是環I中的可逆元素。代數整數的一個顯著特點是,它們不一定能進行惟一不可約因子分解,例如,
代數整數環相關定理
引理1設
為代數數,因為
在Q上的極小多項式,則
為整數的充要條件是
。
系1 Q中只有有理整數才是(代數)整數。
定理1 以
表示二次域
(d是無平方因子的有理整數)中的全部整數所組成的集合,則當
時,
;而當d=1(mod 4)時,
,其中
。
對於二次域K,可以直接驗證定理1中求出的整數集合
事實上是K的子環。對於任意的數域K,Dedekind證明了K的整數集合
也是K的子環,換句話説,如果
和
均是K中的整數,則
和
亦是整數。這是一件不平凡的事情(
顯然均是
中的整數,設想一下如何證明
也是整數),我們需要給出整數的其他刻畫方式。
定理2 對於
,下面幾個條件彼此等價:
(1)
為(代數)整數;
(2)環
的加法羣是有限生成的;
(3)
是C的某個非零子環R中的元素,並且R的加法羣是有限生成的;
(4)存在有限生成非零加法子羣
使得
。
定理3 若
和
均是整數,則
也是整數,特別地,數域K中全部整數組成的集合
是K的子環。
代數整數環:將
叫作是數域K的(代數)整數環,有理數域Q的整數環就是Z,而二次域的整數環已由定理1給出,現在我們來給出分圓域
的整數環。