整閉包

設環S為R的擴張，S的所有R上整元的集合

稱為R在S上的整閉包。若

=R，則稱R在S上整閉。 ^[3] 

為R的整擴張環，

包含S的所有在R上整閉的子環。 ^[3] 

為R上子代數。 ^[4] 

[integrally dependent]

設 A 是一個環，R 是 A 的一個子環。對

，如果存在 R 上的一個首項係數為 1 的多項式使得 a 是它的一個根，即存在

，

使得

則稱元素 a 是 R 的整元（integral element）。如果 A 中的每個元素在 R 上都是整的，則稱 A 是 R 的整擴張（integral extension）。

環的整相關是域的代數擴張概念的推廣。 ^[1] 

任意交換的帶單位元的環 R 的元素 a 稱為整數環 Z 上的整元，簡稱整元。如果 a 是一個首一的整係數多項式的零點，R的所有整元構成一個帶單位元的子環。複數域 C 中的 Z 上的整元就是所謂的代數整數。 所有的代數整數構成一個整環 稱為代數整數環。

整性質在有限羣表示論中起重要作用。 設 G 為有限羣，g=|G|為羣 G的階，G在複數域 C 上的羣代數 C[G] 的中心 Z(C[G]) 是 C 上的交換代數。 令 b₁,b₂,...,b_n是 G 的所有共扼類的類和， 則它們構成Z(C[G])的一個基底 而且易知它們都是整元，因而它們的代數整數組合都是整元。 ^[2]