人口模型

中國的系統動力學人口模型建立於1981年，其階數達70多，方程數近900個。模型中擁有66個年齡組，死亡率因年齡而異，是期望壽命的函數;並把工業產出、勞務產出、食物產量引人為模型中的外生變量。該模型可用於研究人口發展的動態特性、人口變化總趨勢、人口年齡結構、主勞動力與老年人比例的動態變化、生育率、死亡率的動態變化、人口問題對社會經濟發展近期與遠期的影響、人口控制政策的模擬實驗與制定等。該模型具有一定的通用性。

本詞條僅介紹幾個簡化的人口模型，包括 Logistic 模型和 Leslie 模型等，並解釋一些人口動力學中的常見概念。

主述文章：邏輯斯蒂增長模型

邏輯斯蒂 (Logistic) 人口模型是對總人口 N_t建立的非線性動力學模型，它滿足

這裏 r = 人口的自然增長率，K = 環境資源允許的穩定人口數。它從總體上考慮了人口的自然出生和因環境資源有限導致的死亡。求解以上微分方程得到

這裏 N₀ 為 t = 0 時刻的人口數初條件。該模型包含人口 N_t<＜ K時的指數增長行為 N_t～ N₀e^rt （見 “馬爾薩斯模型”），人口 N_t ＜ K 時受天花板 K 限制的 S 型增長行為，以及人口 N_t > K 過剩時的負增長行為。

邏輯斯蒂人口模型較為簡單，參數少，但不夠精細。比如它沒有考慮到人口的年齡結構、性別比、遷入遷出等因素的影響。邏輯斯蒂模型假設人口的淨增長速率 dN_t/ dt 由當下的總人口 N_t 瞬時地決定，而實際的人口動力學由於年齡結構的影響，帶有很強的延遲性。此外，通常在非戰爭、饑荒條件下，人口的增長和死亡主要受生育政策和醫療條件等人為可控因素影響，而環境天花板 K 的概念通常更適用於動物種羣數量的建模。

主述文章：萊斯利矩陣

Leslie 人口模型是一個考慮人口年齡結構的線性動力學模型，它滿足

這裏我們把總人口中的女性分成了 N 個年齡組。例如第一個年齡組 n₁ 表示 0 ~ 1 歲，n₂ 表示 1 ~ 2 歲，以此類推。整個模型有 2N-1 個參數，其中 f_i 表示第 i 個年齡組貢獻的出生率，s_i 表示第 i 個年齡組存活到第 i+1 個年齡組的概率。把所有的 f_i 都除以 2 是因為所出生的孩子中僅有一半是女性。用 N 個 f_i 參數和 N-1 個 s_i 參數對人口的生育和死亡行為進行考慮年齡結構的精細建模，能更好地預測人口數量的時間演化。

用 Leslie 模型可以得出幾個與人口總體有關的統計量，例如平均預期壽命 (Life expectancy at birth, 簡稱 LEB)，定義為

平均預期壽命的含義是假定每個年齡組的存活率 s_i 保持不變，一個個體從出生到死亡的壽命的數學期望。注意這個數值一般不等於一年之內死去的人口的平均壽命 L。這是因為

可見 L 受人口年齡結構 n_i 的影響。用 Leslie 模型可以得到一個指數增長（或指數衰減）的長期穩定年齡結構，為 Leslie 矩陣的最大特徵值的特徵向量。對增長型的人口，穩定年齡結構較為年輕化，故有 L < LEB. 而對於衰退型人口，穩定年齡結構較為老齡化，故有 L > LEB.可見平均預期壽命 LEB 是消除了人口年齡結構影響的統計量，能比平均壽命 L更準確地反映個體的壽命預期。為保持總人口穩定不變，穩定人口數滿足如下公式：

穩定人口數 = 年出生人口 (n₁) * 平均預期壽命 (LEB).

用以上公式可以計算出每年需要出生多少人口才能在現有的 LEB 條件下保持人口總數穩定。不過由於人口動力學的延遲性，達到穩定人口數需要的時間很長，且過程不一定單調（可以有振盪）。

總和生育率 (Total fertility rate, 簡稱 TFR) 是指一個女性人口一生平均生育的子女數目，計算公式為

由於所生子女中平均而言僅有一半是女性，所以維持總人口不變的條件為 TFR = 2. 用 Leslie 模型可以證明由 TFR 和 LEB 兩個統計量給出的人口穩定的條件是等價的。通過計劃生育、晚婚晚育政策可以減小 TFR 控制人口增長。而通過二孩政策則可以增加 TFR，控制人口過早、過快進入老齡化。

人口代際時間 (Generation time, 簡稱 GT) 是指平均而言一個女性生育子女時的年齡，計算公式為

每個母親每生一個孩子時，她的年齡就被統計一次。所有母親生育所有子女時的年齡的平均值，消除人口年齡結構的影響，得到的結果就是代際時間 GT. 根據 Leslie 模型，人口年齡結構穩定且 TFR ≈ 2 時，人口增長率 ≈ (TFR / 2 – 1) / GT.於是從人口代際時間的角度可以看出，計劃生育、晚婚晚育政策既減小分子的 TFR，又延長分母的代際時間 GT，故而對於控制人口增長產生了明顯成效。而二孩政策雖然短期增加 TFR，但長期來看會延長代際時間 GT，從而一定程度上削弱人口增加的效果。 對二孩政策採用 Leslie 模型進行研究的文章見 ^[2]  。