-
交錯級數
鎖定
交錯級數是正項和負項交替出現的級數,形式滿足a1-a2+a3-a4+.......+(-1)^(n+1)an+......,或者-a1+a2-a3+a4-.......+(-1)^(n)an,其中an>0。在交錯級數中,常用萊布尼茨判別法來判斷級數的收斂性,即若交錯級數各項的絕對值單調遞減且極限是零,則該級數收斂;此外,由萊布尼茨判別法可得到交錯級數的餘項估計。最典型的交錯級數是交錯調和級數。
- 中文名
- 交錯級數
- 外文名
- alternating series
- 表達式
- a1-a2+a3-a4-.......+(-1)^(n+1)an
- 適用領域
- 數學
- 應用學科
- 高等數學
- 本 質
- 結構最簡單的是正負號相間的級數
交錯級數定義
若級數的各項符號正負相間,即形如
換句話説:交錯級數是正項和負項交替出現的級數。
[2]
注意:上式中-1的次數也可以為n,即奇數項為負,偶數項為正。
交錯級數收斂性判別
萊布尼茨判別法
定理內容
如果交錯級數
滿足以下兩個條件:
(1)數列
單調遞減;
(2)
;
證明過程
考慮交錯級數的部分和數列
,它的奇數項和偶數項分別為:
∵
單調遞減
∴上述二式中括號內的每一項均為非負數
∴
單調遞減,
單調遞增。
∵
,且
∴
是一個閉區間套
由閉區間套定理,存在唯一實數
,並且
∴
適用範圍
注意,萊布尼茨定理所給出的條件(1)是充分非必要條件,即對非單調遞減的數列{un},交錯級數
既可能收斂,也可能發散。
推論(餘項估計)
交錯級數典例
例1(交錯調和級數)
例2
判定級數
的斂散性。
解:已知該級數是交錯的,我們試圖驗證它滿足萊布尼茨判別法的條件(1)和(2)。
數列
遞減並不顯然。但是,如果我們考慮與它相應的函數
,我們發現
。當
時,
,因此
在
上遞減,這表明當
時,
,且
,該不等式
可直接驗證,故條件(1)滿足。