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二階常係數線性齊次微分方程
鎖定
- 中文名
- 二階常係數線性齊次微分方程
- 外文名
- Second-order linear homogeneous differential equation with constant coefficients
二階常係數線性齊次微分方程定義
形如：
其中
，的微分方程，稱為二階常係數線性齊次微分方程。
二階常係數線性齊次微分方程方程的解
注意到，
的一階導數與二階導數與自身具有類似的結構。不妨設方程的一個特解為
則：
代入原方程，化簡得到：
方程
稱為二階常係數線性齊次微分方程的特徵方程，其解稱作方程的特徵根。根據代數學基本定理，該特徵方程在複數域中，至多有兩個根。根據特徵根的解的分佈，解有以下三種情況。
二階常係數線性齊次微分方程兩個不等實根
設兩個實根為
。由
，方程分別有兩個線性無關的特解
。根據齊次線性微分方程解的性質，方程的通解為
二階常係數線性齊次微分方程兩個相等實根
於是，方程的通解為：
二階常係數線性齊次微分方程兩個共軛復根
設這對復根為
，於是方程的通解為：
