二次不定方程

一類特殊的二次不定方程是x^2+y^2=z^2，其正整數解稱商高數或勾股數或畢達哥拉斯數，中國《周髀算經》中有“勾廣三，股修四，經隅五”之説，已經知道 (3，4，5）是一個解。劉徽在注《九章算術》中又給出了（5，12，13），（8，15，17）， (7，24，25），（20，21，29）幾組勾股數。它的全部正整數解已在16世紀前得到。這類方程本質上就是求橢圓上的有理點。　另一類特殊的二次不定方程是所謂佩爾方程x2－Dy2=1，D是非平方的正整數。利用連分數理論知此方程永遠有解。這類方程就是求雙曲線上的有理點。　最後一類就是平方剩餘問題， 即求x^2-py=q的整數解， 用高斯的同餘理論來描述，就是求x^2≡q(mod p) 的剩餘類解。高斯發現的著名二次互反律 給出了二次方程是否有解的判定方法。這類方程就相當於求拋物線上的整點。　圓錐曲線對應的不定方程求解可以看做橢圓曲線算術性質的一種特例。