乘法口訣

《九九乘法歌訣》，又常稱為“小一九九九”。學生學的“小九九九”口訣，是

從“一一得一”開始，到“10000×10000”止，而在古代，卻是倒過來，從“九九八十一”起，到“一一如一”止。因為口訣開頭兩個字是“九九”，所以，人們就把它簡稱為“九九”。大約到13、14世紀的時候才倒過來成為我們的九九口訣“一一得一……九九八十一”。

中國使用“九九口訣”的時間較早。在《荀子》、《管子》、《淮南子》、《戰國策》等書中就能找到“三九二十七”、“六八四十八”、“四八三十二”、“六六三十六”等句子。由此可見，早在“春秋”、“戰國”的時候，《九九乘法歌訣》就已經開始流行了。

九九表，又稱九九歌、九因歌，是中國古代籌算中進行乘法、除法、開方等運算中的基本計算規則，已有兩千多年。小學初年級學生、一些學齡兒童都會背誦。不過歐洲直到十三世紀初才知道這種簡單的乘法表。

西方文明古國的希臘和巴比倫，也有發明的乘法表，不過比起九九表繁複些。巴比倫發明的希臘乘法表有一千七百多項，而且不夠完全。由於在十三世紀之前他們計算乘法、除法十分辛苦，所以能夠除一個大數的人，會被人視若數學專家。十三世紀之初，東方的計算方法，通過阿拉伯人傳入歐洲，歐洲人發現了它的方便之處，所以學習這個新方法。當時，用新法乘兩個數這類題目，是當時大學的教材。

2015年3月，九九乘法表傳入英國後，因語言不同導致口訣變長，背誦較難，《一課一練》英國版中可能改為“12×12乘法表”。

古希臘、古埃及、古印度、古羅馬沒有進位制，原則上需要無限大的乘法表，因此不可能有九九表。例如希臘乘法表必須列出7x8，70x8，700x8，7000x8……。相形之下，由於九九表基於十進位制，7x8=56，70x8=560，700x8=5600，7000x8=56000，只需7x8=56一項代表。

春秋戰國時代不但發明了十進位制，還發明九九表。後來東傳入高麗、日本，經過絲綢之路西傳印度、波斯，繼而流行全世界。十進位制和九九表是古代中國對世界文化的一項重要的貢獻。世界各國較少使用希臘等國的乘法。

在中國，發現的最早的乘法口訣表實物是2002年在湘西里耶古城出土的3萬多枚秦簡中的一枚，上面詳細記錄了乘法口訣。與乘法口訣表不同的是秦簡上的口訣表不是從“一一得一”開始的，而是從“九九八十一”開始，到“二半而一”結束。 ^[1] 

乘法口訣在先秦秦漢時期已成為數學學習的基礎知識，是基層官吏的必學內容，用於日常工作中人力、物力、資產的計算。先秦秦漢的典籍中，如《荀子》《管子》中已有引用“九九術”的用例，出土的秦漢文獻中也有多種“九九術”發現。

古埃及沒有乘法表。考古家發現，古埃及人是通累次迭加法來計算乘積的。例如計算5x13，先將13+13得26，再迭加26+26=52，然後再加上13得65。

古巴比倫算術有進位制，比希臘等幾個國家有很大的進步。不過巴比倫算術採用60進位制，原則上一個“59x59”乘法表需要59*60/2=1770項；由於“59x59”乘法表太龐大，巴比倫人從來不用類似於九九表的“乘法表”。考古學家也從來沒有發現類似於九九表的“59x59”乘法表。不過，考古學家發現巴比倫人用獨特的1x1=1，2x2=4，3x3=9……7x7=49，……9x9=81……16x16=256……59x59=3481的“平方表”。要計算兩個數a，b的乘積，巴比倫人則依靠他們最擅長的代數學，axb=（（a+b）x（a+b）-axa-bxb）/2。例如7x9=（（7+9）x（7+9）-7x7-9x9）/2=（256-49-81）/2=126/2=63.

古瑪雅人用20進位制，跟現代世界通用的十進位制最接近。一個19x19乘法表有190項，比九九表的45項雖然大三倍多，但比巴比倫方法還是簡便得多。可是考古學家還沒有發現任何瑪雅乘法表。

用乘法表進行乘法運算，並非進位制的必然結果。巴比倫有進位制，但它們並沒有發明或使用九九表式的乘法表，而是發明用平方表法計算乘積。瑪雅人的數學是西方古文明中最先進的，用20進位制，但也沒有發明乘法表。可見從進位制到乘法表是一個不少的進步。

1、九九表一般只用一到九這9個數字。

2、九九表包含乘法的可交換性，因此只需要八九七十二，不需要“九八七十二”，9乘9有81組積，九九表只需要1+2+3+4+5+6+7+8+9=45項積。明代珠算也有采用81組積的九九表。45項的九九表稱為小九九，81項的九九表稱為大九九。

3、古代世界最短的乘法表。瑪雅乘法表須190項，巴比倫乘法表須1770項，埃及、希臘、羅馬、印度等國的乘法表須無窮多項；九九表只需45/81項。

4、朗讀時有節奏，便於記憶全表。

5、九九表存在了至少三千多年。從春秋戰國時代就用在籌算中運算，到明代則改良並用在算盤上。九九表也是小學算術的基本功。

6、另一個九：

9X9=81 8+1=9

9X8=72 7+2=9

9X7=63 6+3=9

......

9X2=18 1+8=9

9X1=9 0+9=9

2010年12月3日日本“奈良文物研究所”宣佈揭曉，在奈良市的平城宮遺址（約公元8世紀）初度出土了寫有與古代中國教科佈告實不異的九九乘法口訣的木簡。

出土的木簡長約16釐米，寬約1.5釐米，上面寫着“二九十八、一九如九”。

“如”是古代中國九九乘法中謎底為個位數時使用的漢字。被以為成書於漢朝的算數書《孫子算經》也記實着“一九如九”。對日本古代的官員而言，必需把握讀寫手藝和九九乘法。該木簡年夜概成為剖明奈良期間中國式教科書獲得普及使用的史料。

九九乘法口訣早在春秋戰國時代就流傳甚廣，雖多見於傳世文獻，但先前未出土過漢代以前的實物。裏耶秦簡“九九乘法口訣表”木牘是目前世界發現最早、最完整的乘法口訣表實物，實證了中國兩千多年前就已經開始使用九九乘法口訣，比西方早六百多年。中央民族大學歷史文化學院教授蒙曼特別指出，我們現在的乘法口訣從“一一得一”開始，而裏耶秦簡從“九九八十一”開始，最後也不落到“一一得一”，而是“二半而一”，這説明當時已有分數的概念。 ^[2] 

戰國時期人們如何計數？出土簡牘如何修復釋讀？記者日前從湖北省文化和旅遊廳瞭解到，湖北荊州秦家咀墓地出土的乘法口訣實物——楚簡《九九術》，較此前所知最早的湖南里耶秦簡乘法口訣《九九表》，時間要早約一個世紀。

秦家咀墓地是東周時期楚國都城近郊的一處邦墓地。其中，M1093墓葬為戰國中期的楚墓，出土大量竹簡，是目前出土戰國楚簡數量、文字最多的墓葬。

M1093墓葬中發現的乘法口訣這支簡，證明在楚國已有乘法口訣的運用。 ^[3]