乘子

1.D的所有乘子成為一個羣，而所有右乘子為這個羣的子羣。

2.當G是阿貝爾羣時，所有的乘子為右乘子；當G是循環羣時，所有的乘子為數值乘子。

3.當D為阿貝爾差集時，D的一個乘子必固定D的某個平移。利用這個性質及乘子定理（見下文）可以構造某些差集及證明某些差集的不存在性。 ^[1] 

例如，{1,3,9,5,4}是Z₁₁中的（11,5,2）差集，m=3是它的一個數值乘子。 ^[1] 

乘子定理（multiplier theorem）是用來判別差集乘子存在性的定理。乘子定理有多種形式，以下的乘子定理也稱為第二乘子定理。

第二乘子定理 設D是v階阿貝爾羣G的（v，k，λ）差集，m是n=k-λ的一個與v互素的因子，且m>λ。若整數t與v互素，使得對m的每個素因子p存在相應的非負整數f，適合t≡p^f(mod v*)，其中v*為G的指數，即使x^e=1對G中一切x成立的最小正整數e，則G的自同構x→x^t是D的數值乘子。 ^[1] 

該定理由曼 （Mann，H.B.）於1965年得到。當G為循環羣且λ=1時的較早形式由霍爾（Hall M.Jr.）得到。由於阿貝爾差集D的乘子必固定D的某個平移，所以，可由乘子定理做出一些差集或證明某些參數的差集不存在。例如，可做（11,5,2）循環差集如下：設這樣的差集存在，則3是D的一個數值乘子，不妨設3固定D，則D必為循環羣Z₁₁的元素在自同構x→3x作用下的某些軌道的並，而Z₁₁的元素軌道為{0}，{1,3,9,5,4}及{2,6,7,10,8}。於是，兩個軌道均是Z₁₁中的（11,5,2）差集。又例如，若存在循環（31,10,3）差集D，則7應是D的乘子，不妨設7固定D。但是，在自同構x→7x作用下Z₃₁分成3個元素軌道，長度分別為1,15及15，這説明D不存在。 ^[1] 

在第二乘子定理中取m為素數p。可得到定理的特例（稱為第一乘子定理）：

第一乘子定理 設D是一個（v，k，λ）阿貝爾差集，p為素數，p|n，p|v不成立，若p>λ，則p是D的一個乘子。 ^[1] 

這個定理的證明依賴於條件p>λ，但事實上對每一個已知的阿貝爾差集，只要素數p是n的因子且不整除v，則一定是差集的乘子。因此，人們猜想第一乘子定理中去掉條件p>λ後結論仍成立。這個猜想稱為乘子猜想。

乘子定理説明，n的因數是乘子的重要來源。但這並不是唯一的來源。例如，11是（21,5,1）循環差集D={3,6,7,12,14}的數值乘子，而11並不是n=4的因子。當一個數值乘子不是n的因子時，稱為額外乘子。已知某些數不可能成為差集的額外乘子。例如，2不可能是阿貝爾差集的額外乘子，v-1不可能是任何（v，k，λ）循環差集的額外乘子。 ^[1]