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中位線定理
鎖定
- 中文名
- 中位線定理
- 外文名
- Median line of triangle
- 外文名
- A bit line in a triangle
- 用 途
- 平面幾何線段間的關係
中位線定理概念
中位線定理中位線概念
(2)梯形中位線定義:連接梯形兩腰中點的線段叫做梯形的中位線。
[1]
中位線定理注意
(2)梯形的中位線是連接兩腰中點的線段而不是連結兩底中點的線段。
(3)兩個中位線定義間的聯繫:可以把三角形看成是上底為零時的梯形,這時三角形的中位線就變成梯形的中位線。
中位線定理定理
(2)梯形中位線定理:梯形的中位線平行於兩底,並且等於兩底和的一半.
中位線定理例題
已知:如圖1,DE是△ABC的中位線
求證:DE∥BC DE=1/2 BC
證明:延長DE至F,使EF=DE,連接CF
∵DE是△ABC的中位線
∴AE=CE
在△ADE和△CFE中
∵AE=CE(已證),∠AED=∠CEF(對頂角相等),DE=EF(已作)
∴△ADE≌△CFE(SAS)
∴AD=CF(全等三角形對應邊相等)
∠ADE=∠F(全等三角形對應角相等)
∴BD∥CF(內錯角相等,兩直線平行)
∵AD=BD
∴BD=CF
∴DE//BC,DE=1/2DF=1/2BC
中位線定理證明
已知△ABC中,D、E分別是AB、AC兩邊中點。
求證DE平行於BC且等於BC/2
方法一:幾何法
∵CG∥AD
∴∠A=∠ACG
∵∠AED=∠CEG、AE=CE、∠A=∠ACG(用大括號)
∴△ADE≌△CGE (A.S.A)
∴AD=CG(全等三角形對應邊相等)
∵D為AB中點
∴AD=BD
∴BD=CG
又∵BD∥CG
∴DG∥BC且DG=BC
∵△ADE≌△CGE (A.S.A)
∴DE=GE
∴DE=DG/2=BC/2
∴三角形的中位線定理成立
方法二:座標法
設三角形三點分別為(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)
則一條邊長為 :根號(x2-x1)^2+(y2-y1)²
另兩邊中點為((x1+x3)/2,(y1+y3)/2),和((x2+x3)/2,(y2+y3)/2)
這兩中點距離為:根號((x2+x3)/2-(x1+x3)/2)^2+((y2+y3)/2-(y1+y3)/2)^2
最後化簡時將x3,y3消掉正好中位線長為其對應邊長的一半
方法三
延長DE到點G,使EG=DE,連接CG
∵點E是AC中點
∴AE=CE
∵AE=CE、∠AED=∠CEF、DE=GE
∴△ADE≌△CGE (S.A.S)
∴AD=CG、∠G=∠ADE
∵D為AB中點
∴AD=BD
∴BD=CG
∵點D在邊AB上
∴DB∥CG
∴BCGD是平行四邊形
∴DE=DG/2=BC/2
∴三角形的中位線定理成立
方法四:向量DE=DA+AE=(BA+AC)/2=BC/2
- 參考資料
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- 1. 初中數學公式定理:中位線定理 .中考網.2015-04-15[引用日期2015-06-07]
- 2. 三角形中位線定理證明 .豆丁網.2013-06-19[引用日期2015-06-07]