三體

三體（three-body problem），天體力學中的基本力學模型。研究三個可視為質點的天體在相互之間萬有引力作用下的運動規律問題。這三個天體的質量、初始位置和初始速度在一般情況下是任意的。

在一般三體問題中，每一個天體在其他兩個天體的萬有引力作用下的運動方程都可以表示成3個二階的常微分方程，或6個一階的常微分方程。因此，一般三體問題的運動方程為十八階方程，必須得到18個積分才能得到完全解。

上式

中都是三維矢量，所以寫成分量的話是9個二階常微分方程，可以化為18個一階常微分方程。然而，現階段只能得到三體問題的10個初積分，還遠不能解決三體問題。

由於三體問題不能嚴格求解，在研究天體運動時，都只能根據實際情況採用各種近似的解法，研究三體問題的方法大致可分為3類：

第一類是分析方法，其基本原理是把天體的座標和速度展開為時間或其他小參數的級數形式的近似分析表達式，從而討論天體的座標或軌道要素隨時間的變化；

第二類是定性方法，採用微分方程的定性理論來研究長時間內三體運動的宏觀規律和全局性質；

第三類是數值方法，這是直接根據微分方程的計算方法得出天體在某些時刻的具體位置和速度。這三類方法各有利弊，對新積分的探索和各類方法的改進是研究三體問題中很重要的課題。

三體問題的特殊情況：當所討論的三個天體中，有一個天體的質量與其他兩個天體的質量相比，小到可以忽略時，這樣的三體問題稱為限制性三體問題。一般地把這個小質量的天體稱為無限小質量體，或簡稱小天體；把兩個大質量的天體稱為有限質量體。小天體在兩個有限質量天體的引力場中運動，而不反過來影響它們，所以小天體也可以視為這兩個有限質量天體引力場的測試天體。

把小天體的質量看成無限小，就可不考慮它對兩個有限質量體的吸引，也就是説，它不影響兩個有限質量體的運動。於是，對兩個有限質量體的運動狀態的討論，仍為二體問題，其軌道就是以它們的質量中心為焦點的圓錐曲線。根據圓錐曲線為圓、橢圓、拋物線和雙曲線等四種不同情況，相應地限制性三體問題分四種類型：圓型限制性三體問題、橢圓型限制性三體問題、拋物線型限制性三體問題和雙曲線型限制性三體問題。

平面圓型限制性三體問題存在五個拉格朗日點。測試天體在這五個點上可以只在引力的作用下隨兩個有限質量天體保持相對靜止一起公轉。其中L1、L2、L3點位於這兩個天體的連線上，L4、L5則與這兩個天體構成等邊三角形。

如果將兩個有質量天體的引力勢和系統公轉的離心勢畫出，就會發現L1、L2、L3是不穩定的鞍點，測試天體會在外界擾動下逐漸偏離。而L4、L5在一定條件下可以形成穩定的駐點，這個條件要求兩個有限質量天體中，較輕天體的質量佔總質量的比例

滿足

，其中，質量比的下界稱為Ruth臨界質量。

在小行星運動理論中，常按橢圓型限制性三體問題進行討論，例如，在太陽—木星—小行星所組成的橢圓型限制性三體問題中，就有一些小行星羣聚集在L4、L5點附近運動，這些小行星羣被稱為特洛伊小行星羣。還有一些小行星在L3、L4、L5三點之間運動，稱為希爾達小行星羣。它們的運動週期是木星公轉週期2/3倍，天文上稱它們與木星形成2:3的軌道共振。

人造天體出現後，限制性三體問題有了新的用途，常用於研究月球火箭和行星際飛行器運動的簡化力學模型，並發現了可以讓人造飛行棋駐留在雙星系統某點附近的暈輪軌道（halo orbit）。1978年，人們將國際日地探測器發往日地L1點，開啓了對拉格朗日點的第一次應用。1982年，它主動變軌駛向哈雷彗星，並更名為國際彗星探測器，在這四年間，它穩定地行駛在日地L1點附近的暈輪軌道上。這是人類第一次實際運用暈輪軌道。

第二顆運用暈輪軌道的事太陽和太陽圈探測器（Solar and Heliospheric Observatory，簡稱SOHO），它是一顆以觀測太陽為主要目的的探測衞星。SOHO於1955年12月2日發射，已經連續運行將近30年，期間發現了超過3000顆彗星。為了觀測太陽並保持與地球的通訊，SOHO選擇了太陽與地球的L1點作為停留地點，但由於L1點並不穩定，實際上它是在L1點附近運轉，通過科里奧利力來維持一個穩定的繞L1點軌道，運轉週期約6個月。

中國的嫦娥四號在月球背面實現軟着陸也離不開暈輪軌道。2018年6月14日，中國將鵲橋號中繼衞星成功移動至地月拉格朗日L2點的暈輪軌道，這樣能在月球背面上空穩定地懸停，從而在地球和月球背面建立通信信號中轉站。2019年3月，嫦娥四號使用鵲橋中繼衞星進行了軟着陸，並傳回了月球背面的圖像。

2021年12月25日，詹姆斯·韋布空間望遠鏡（James Webb Space Telescope）發射升空，並在2022年1月24日駛入日地系統的L2點暈輪軌道。它將接替哈勃空間望遠鏡繼續探索深空奧秘。

牛頓的引力理論正確預測兩個互相吸引的天體（比如太陽和地球）的運動規律——它們的軌道基本是橢圓形。但如果有3個天體（比如太陽、地球和月球）互相作用，它們的運行軌道有什麼規律？這就是著名的“三體問題”。

“三體問題”的提出可以追溯到1687年，當時英國物理學家、數學家艾薩克·牛頓（Isaac Newton）運用他的引力理論正確預測兩個互相吸引的天體（比如太陽和地球）的運動規律——它們的軌道基本是橢圓形。但如果有3個天體，比如太陽、地球和月球相互作用，它們的運行軌道是什麼樣的？牛頓把這個問題寫在了《自然哲學的數學原理》第一卷的第66號命題中。

1767萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）提出了三個週期解，其中三個物體在任意時刻均共線，這就是前三個拉格朗日點L1、L2和L3。1772年，約瑟夫·路易·拉格朗日拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）找到了剩下的位於等邊三角形位置上的穩定點L4和L5，小天體在這五個點上可以隨兩個有限質量天體一起週期性地同步公轉。

1889年，法國數學家、天體力學家亨利·龐加萊（Henri Poincaré）將複雜的三體問題簡化成了所謂的“限制性三體問題”。但他發現，即使對簡化了的限制性三體問題，在同宿軌道或者異宿軌道附近，解的形態會非常複雜，以至於對於給定的初始條件，幾乎沒有辦法預測當時間趨於無窮時，這個軌道的最終命運。而這種對於軌道的長時間行為的不確定性，這被稱為“混沌現象”（chaos），表明了通常情況下三體問題的解是非週期性的。

20世紀70年代，美國數學家羅傑·布魯克（Roger A. Broucke）、希臘天文學家John D. Hadjidemetriou和法國天文學家米歇爾·赫農（Michel Hénon）等人藉助計算機得到了一套特殊的數值軌道解，這些軌道類型稱為布魯克—赫農族（Broucke-Hadjidemetriou-Henon topological class）。

1993年，美國數學家、物理學家克里斯·摩爾（Cris Moore）發現一種特解，其中3個天體的運動在一條“8”字形的軌道上互相追逐。

上述所有這些被發現的特解可以被歸結為下面3族：拉格朗日—歐拉族、布魯克—赫農族和“8”字形族。拉格朗日—歐拉族的解比較簡單，就是三個天體相對靜止地在圓軌道上運動，就像旋轉木馬那樣。布魯克—赫農族的解比較複雜，兩個天體在裏面橫衝直撞，第三個天體在它們外圍做環繞運動。

這些軌道的族是按它們的拓撲性質分類的。考慮某一時刻三個天體的相對位置，它可以用兩個矢量和表示，而這兩個矢量又可以進一步轉換成一個三維單位球上的向量，這樣的球稱為形狀球（shape sphere）。在這樣的轉換下，三個天體兩兩相撞所對應的三個點是形狀球上的奇點，因為代表系統狀態的向量一旦碰到這三個點就不再可能是週期性的。所以只能繞着極點演化，根據繞法的不同就可以分類出不同的軌道族。

2013年，塞爾維亞貝爾格萊德物理研究所的米洛萬·舒瓦科夫（Milovan Šuvakov）和迪米特拉·什諾維奇（Veljko Dmitrašinović）在等質量零角動量的條件下找到了13組新的週期性特解。 ^[3]  他們使用的方法，是先從一個已知的週期解出發，然後在計算機模擬中不斷天體的質量、初始位置和初始速度，直到發現新的、穩定的三體運動模式。這13組特解非常複雜，其中一族在形狀球中就像一個鬆散的線團，被命名為yarn族。2015年，AnaHudomal用同樣的方法新發現了14族解。

圖：Milovan Šuvakov和Veljko Dmitrašinović發現的線團（yarn）族軌道 ^[4] 

2017年，上海交通大學的廖世俊教授利用天河二號超級計算機，新發現了695個週期解。注意這裏週期軌道解的發現不按族算，而是按個，比如圖中的“糖果”形軌道。2018年，廖世俊團隊又新發現1349個解。2021年，廖世俊團隊基於機器學習又新發現了135445個解。 ^[5] 

半人馬座α三合星系統是離我們太陽系最近的恆星系統，距離僅4.2~4.3光年。它由半人馬座α星A（南門二A）、半人馬座α星B（南門二B）和半人馬座α星C（比鄰星）構成。

在這樣一個三體星系中，A和B兩顆星的質量接近太陽，比鄰星的質量則約為太陽的十分之一。所以相對而言，AB雙星的軌道更穩定，它們圍繞各自對方為中心旋轉組成轉動週期約80年的雙星系統，旋轉半徑為17.57天文單位（Astronomical Unit，縮寫AU）。比鄰星則在距離它們0.2光年遠的地方繞着它們公轉，偏心率約0.5，週期預計約51萬年。 ^[6]  比鄰星對半人馬座αAB雙星的引力雖然微小，但依然會有影響，它們三顆星的軌道並不是簡單的兩層圓軌道嵌套，而是在不斷髮生微小變動而難以預測的。

圖：半人馬座α三合星系統相對太陽系的位置。灰點是比鄰星的投影，投影與太陽的距離和半人馬座αAB雙星與太陽的距離相等。圖中距離單位pc：秒差距；ly：光年；Pm：拍米，即10¹⁵米

北極星是很著名的恆星，但你也許想不到它也是一個三合星系統。其中勾陳一A的質量是太陽的5.4倍，勾陳一Ab的質量是太陽的1.26倍，兩者相對較近，距離為18.5個天文單位。勾陳一B的質量是太陽的1.39倍，距離上述兩顆星2400個天文單位。

這三顆星距離很近，所以人們很晚才意識到它其實並不是一顆星。勾陳一B最早由威廉•赫歇爾（William Herschel）在1779年觀測到。1929年，美國天文學家約瑟夫•海恩斯•摩爾（Joseph Haines Moore）用視向速度法觀測到勾陳一A有一個29.7年的變化週期，第一次揭示了勾陳一Ab的存在。

2006年1月9日，美國“哈勃”太空望遠鏡首次拍攝到北極星的一顆小伴星——“勾陳一Ab”。^[7]這一發現，使得由三顆恆星組成的北極星系統完整地呈現於人們面前。

圖：哈勃望遠鏡拍攝的圖片展示了北極星是一個三星系統，圖源：哈勃望遠鏡 ^[7] 

2014年1月，一個國際天文學家小組利用格林班克射電望遠鏡（Green Bank Telescope，簡稱GBT）發現一個奇特的“三體”恆星系統，這個系統中包含兩顆白矮星以及一顆擁有超高密度的脈衝星。這是人們第一次發現含有脈衝星的三合星系統。

脈衝星是中子星的一種，隨着它們的高速自轉，它們發出的無線電波會像大海中的燈塔一樣週期性地掃過周圍空間。此次發現的這顆脈衝星距離地球約4200光年，自轉速度是每秒366圈。這類脈衝星被歸類為“毫秒脈衝星”，天文學家們利用這類天體作為研究多種現象的精確計時工具，其中包括搜尋難覓蹤跡的引力波。

後續的觀測發現這顆脈衝星旁邊還存在一顆白矮星，它的質量是太陽的0.2倍，它們在軌道上相互繞轉，週期越1.6天。而這對“雙星”本身又在更遠的距離上圍繞另外一顆0.41倍太陽質量的白矮星運轉，週期約327天。

圖：PSR J0337+1715三合星系統，圖源：Jason Hessels/ASTRON ^[8] 

西肯塔基大學天文學家傑森·博伊爾（Jason Boyles）最早在2012年在利用格林班克望遠鏡開展大範圍巡天觀測並搜尋脈衝星的過程中最先發現了這顆脈衝星目標，並命名為PSR J0337+1715。當時他還是該校的研究生。

研究人員利用格林班克望遠鏡，位於波多黎各（Puerto Rico）的阿雷西博射電望遠鏡(Arecibo radio telescope)，以及位於荷蘭的韋斯特博克綜合孔徑射電望遠鏡（Westerbork Synthesis Radio Telescope，簡稱WSRT）開展了密集的觀測研究工作。科學家們還調用了來自斯隆數字化巡天（Sloan Digital Sky Survey，簡稱SDSS）、星系煙花探索者衞星（Galaxy Evolution Explorer，簡稱GALEX）、亞利桑那基特峯WIYN望遠鏡（Wisconsin; Indiana; Yale and NOAO Telescope），以及斯皮策空間望遠鏡（Spitzer Space Telescope）的數據。

這三顆恆星繞轉的軌道比地球繞太陽的軌道還要小，而它們的密度又都比太陽大得多，所以它為我們對引力效應的觀測提供了很好的條件，尤其是對廣義相對論中“強等效原理”的檢驗。等效原理認為，引力對物體運動的影響不取決於物體自身的性質，例如在比薩斜塔實驗中，不同質量的小球最後會同時落在地面上。在這個系統中，外側的白矮星的引力對內側白矮星和脈衝星的運動影響應當也遵循相同的規律。而如果強等效原理在強引力的極端條件下失效，那麼內側的白矮星和脈衝星的運動規律會存在差異，從而影響毫秒脈衝星的脈衝信號，進而幫助人們觀測到這樣的微小差異。這種檢測方法能對強等效原理給出迄今為止最精確的檢驗。

2006年，中國科幻作家劉慈欣開始在《科幻世界》中連載小説《三體》，它以半人馬座α三合星系統為參照，假設了在該恆星系統中存在一個外星文明，因為生存環境極不穩定而入侵地球。

在小説中，有一位人類數學家魏成，專門研究三體問題的嚴格解。