一致收斂拓撲

一致收斂拓撲(topology of uniform conver-gence)是映射空間上的一類常見拓撲。設F為集合X到一致空間(Y，V)的映射族。對於任意V∈V，若W(V)={(f，g)∈F×F|對於任意x∈X，(f(x)，g(x))∈V}，則以集族B={W(V)|V∈V}為基在F上生成的一致結構U稱為F上的一致收斂的一致結構。由U誘導的拓撲稱為F上的一致收斂拓撲。一致收斂拓撲細於點態收斂拓撲。若F是拓撲空間X到一致空間(Y，V)的所有連續映射的族，則F上的一致收斂拓撲是聯合連續的。 ^[1] 

拓撲空間是歐幾里得空間的一種推廣。給定任意一個集，在它的每一個點賦予一種確定的鄰域結構便構成一個拓撲空間。拓撲空間是一種抽象空間，這種抽象空間最早由法國數學家弗雷歇於1906年開始研究。1913年他考慮用鄰域定義空間，1914年德國數學家豪斯多夫給出正式定義。豪斯多夫把拓撲空間定義為一個集合，並使用了“鄰域”概念，根據這一概念建立了抽象空間的完整理論，後人稱他建立的這種拓撲空間為豪斯多夫空間(即現在的T2拓撲空間)。同時期的匈牙利數學家裏斯還從導集出發定義了拓撲空間。20世紀20年代，原蘇聯莫斯科學派的數學家П.С.亞里山德羅夫與烏雷松等人對緊與列緊空間理論進行了系統研究，並在距離化問題上有重要貢獻。1930年該學派的吉洪諾夫證明了緊空間的積空間的緊性，他還引進了拓撲空間的無窮乘積(吉洪諾夫乘積)和完全正規空間(吉洪諾夫空間)的概念。

20世紀30年代後，法國數學家又在拓撲空間方面做出新貢獻。1937年布爾巴基學派的主要成員H.嘉當引入“濾子”、“超濾”等重要概念，使得“收斂”的更本質的屬性顯示出來。韋伊提出一致性結構的概念，推廣了距離空間，還於1940年出版了《拓撲羣的積分及其應用》一書。1944年迪厄多內引進雙緊緻空間，提出仿緊空間是緊空間的一種推廣。1945年弗雷歇又提出抽象距的概念，他的學生們進行了完整的研究。布爾巴基學派的《一般拓撲學》亦對拓撲空間理論進行了補充和總結。

此外，美國數學家斯通研究了剖分空間的可度量性，1948年證明了度量空間是仿緊的等結果。捷克數學家切赫建立起緊緻空間的包絡理論，為一般拓撲學提供了有力工具。他的著作《拓撲空間論》於1960年出版。近幾十年來拓撲空間理論仍在繼續發展，不斷取得新的成果。 ^[2] 

一致空間又叫一致結構。是集合上的一種結構。設X為集合，U為X×X的非空子集族。若U滿足下列條件，則稱U是X上的一致結構：

1.U的每一個元包含對角線Δ。

2.若U∈U，則

，其中：

U={(x，y)|(y，x)∈U}.

3.若U∈U，則存在V∈U使得V°VU，其中：

　4.若U，V∈U，則U∩V∈U。

5.若U∈U並且UVX×X，則V∈U。

具有一致結構U的集合X稱為一致空間，記為(X，U)。一致空間的概念是韋伊(Weil，A.)於1938年引入的.布爾巴基(Bourbaki，N.)於1940年首先給予系統的論述。圖基(Tukey，J.W.)於1940年用覆蓋族定義並研究了一致空間的等價的概念。艾斯貝爾(Isbell，J.R.)於1964年出版的書中，包含了用覆蓋敍述的一致空間理論的重要發展。一致空間也可用偽度量族來描述，它是由布爾巴基於1948年給出的。

映射空間亦稱函數空間。拓撲學的一個基本概念。一類重要的拓撲空間。設X，Y是集合，F為X到Y的映射組成的族。在F上引入拓撲使之成為拓撲空間，則稱F為映射空間。在映射空間理論中常見的拓撲有點態收斂拓撲、緊開拓撲、一致收斂拓撲、緊收斂拓撲等。

亦稱點開拓撲。映射空間上一類常見的拓撲。設F 為集合X到拓撲空間(Y，U)的映射族。若：

W(x，V)={f∈F|f(x)∈V}，

則以集族：

{W(x，V)|x∈X，V∈U}

為子基在F上生成的拓撲稱為F上的點態收斂拓撲。若將F看做積空間Y的子空間，則點態收斂拓撲是積拓撲在F上的相對拓撲.若值域空間Y是豪斯多夫空間或正則空間，則F上賦予點態收斂拓撲也是豪斯多夫空間或正則空間。但當Y是局部緊空間、第一可數空間、第二可數空間時，F未必具有相應的性質。 ^[3]