映射空間

設X為一個集合，

為一個拓撲空間．從X到Y的所有映射構成的集合記作

={

為映射}.

實際上，它就是以X為指標集的笛卡兒積

對

，令

為

的第x個投射，則對

恰為映射f在點x處的像，因此，我們將投射

改稱為

在點x∈X處的賦值映射。

另一方面，

的積拓撲

便是以

={

為

中的開集，x∈X }為子基的拓撲，並稱

為

的點式收斂拓撲，而

稱為從集合X到拓撲空間

的映射空間(點式收斂拓撲)。

由於映射空間(點式收斂拓撲)是一類特殊的拓撲積空間，因此，關於拓撲積空間的一般理論全部適用於它，無須另行證明。

定理1 設X為一個集合，

為一個拓撲空間，則映射空間

(點式收斂拓撲)為

空間

Y為平庸拓撲空間，或者X為至多可數集並且Y為

空間。

定理2 設X為任一集合，Y為一個拓撲空間，則映射空間

(點式收斂拓撲)為

(

正則，完全正則，連通，路連通，緊緻)空間

Y為

(

，正則，完全正則，連通，道路連通，緊緻)空間。

對於連續映射，我們引進

定義2 設

與

為兩個拓撲空間，

為從

到

的所有連續映射構成的集合，則

，C(X，Y) 作為映射空間

(點式收斂拓撲)的子拓撲空間稱為從拓撲空間

到拓撲空間

的連續映射空間(點式收斂拓撲)，並且C(X，Y) 的拓撲也稱為點式收斂拓撲。

C(X，Y) 作為

的子拓撲空間，自然可以繼承

的許多拓撲性質．例如，當Y為

(

，正則、完全正則、連通、道路連通、緊緻)時，由可積性知，映射空間

(點式收斂拓撲)為

(

，正則，完全正則、連通、道路連通、緊緻)空間，再根據遺傳性，連續映射空間C(X，Y) (點式收斂拓撲)也為

(

，正則，完全正則、連通、道路連通、緊緻)空間。 ^[2] 

定義3 設X為一個集合，﹙Y，ρ﹚ 為一個度量空間，記

為從X到Y的所有映射構成的集合，定義

對

容易驗證

為

的一個度量，稱它為

的一致收斂度量，度量空間

稱為映射空間(一致收斂度量)，由一致收斂度量

誘導出來的拓撲

稱為

的一致收斂拓撲．拓撲空間

稱為映射空間(一致收斂拓撲)。

當

為一個拓撲空間時，從

到

的所有連續映射構成的集合

作為度量空間

的子度量空間，稱為連續映射空間(一致收斂度量)，此時它的度量也稱為一致收斂度量；它作為拓撲空間

的子拓撲空間稱為連續映射空間(一致收斂拓撲)，此時它的拓撲也稱為一致收斂拓撲。

定理3設X為集合，﹙Y，ρ﹚ 為一個度量空間．在度量空間

(一致收斂度量)中的一個序列

收斂於

序列

一致收斂於

，即

，當

時，

定理4 設X為一個集合，﹙Y，ρ﹚ 為一個完備度量空間，映射空間(一致收斂度量)

也為一個完備度量空間。

定理5 設

為一個拓撲空間， ﹙Y，ρ﹚為一個度量空間，則從

到

的所有連續映射構成的集合

為映射空間(一致收斂拓撲)中的一個閉集，因此，度量空間C(X，Y) (一致收斂度量)也是一個完備度量空間。 ^[2] 

定義4 設X與Y為兩個拓撲空間，W為X的全體緊緻子集構成的集族，則從X到Y的全體映射構成的集合

的W一開拓撲

稱為

的緊緻一開拓撲，拓撲空間(

，

)稱為映射空間(緊緻一開拓撲)。

從X到Y的全體連續映射構成的集合C(X，Y) 作為映射空間

(緊緻一開拓撲)的子拓撲空間稱為連續映射空間(緊緻一開拓撲)；並且

的緊緻一開拓撲

在C(X，Y)上的限制

也稱為C(X，Y) 的緊緻一開拓撲。

定理6 設X與Y為兩個拓撲空間，

與

分別為從X到Y的全體映射構成的集合

的點式收斂拓撲與緊緻一開拓撲，則

。

定理7 設X與Y為兩個拓撲空間，如果Y為

空間，則映射空間

(緊緻一開拓撲)以及連續映射空間C(X，Y) (緊緻一開拓撲)也為

空間。

定理8 設X為緊緻空間，﹙Y，ρ﹚ 為一個度量空間，則連續映射空間C(X，Y) 的一致收斂拓撲與緊緻一開拓撲相同。 ^[2]