Kac-Moody代數

假定以下材料:

——一個r秩廣義嘉當矩陣(generalised Cartan matrix)

———— 一個 2n−r 維復向量空間

————

的對偶空間

————

中n枚相互線性獨立的元，稱為對偶根(co-root)

————

中n枚線性相互線性獨立的元，稱為根(root)

上述各元滿足

Kac–Moody代數

由符號 e_i , f_i (i=1,..,n) 及空間

生成：

以上各元滿足以下關係:

；

；其中

；

，其中

；

，其中

；

，其中

；

，其中e_i出現1-c_ij次；

，其中f_i出現1-c_ij 次。

(其中

)

一個 實(維數可以無限)李代數亦可稱為Kac–Moody代數，如果復化是 Kac–Moody代數的話。

是此 Kac–Moody 代數的一嘉當子代數。

若g是 Kac–Moody 代數的一元，使得

其中 ω 是

的一元，

則稱g為權(weight) ω的。我們可分解一Kac–Moody 代數成其冪空間，則嘉當子代數的冪為零，e_i的冪為α*_i，而f_i的冪為−α*_i。若二冪特徵向量的李括號非零，則其冪是二冪之和。（若

） 則

一條件即指 α*_i 都是簡單根。