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Fibonacci數列
鎖定
- 中文名
- 費波那契數列
- 外文名
- Fibonacci sequence
- 別 名
- 黃金分割數列
- 提出時間
- 1150年
- 提出者
- 印度數學家Gopala
- 應用學科
- 數學
Fibonacci數列定義
0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233……(OEIS中的數列A000045)
特別指出:0不是第一項,而是第零項。
Fibonacci數列源起
根據高德納(Donald Ervin Knuth)的《計算機程序設計藝術》(The Art of Computer Programming),
[2]
1150年印度數學家Gopala和金月在研究箱子包裝物件長寬剛好為1和2的可行方法數目時,首先描述這個數列。在西方,最先研究這個數列的人是比薩的列奧那多(意大利人斐波那契Leonardo Fibonacci),他描述兔子生長的數目時用上了這數列:
- 第一個月初有一對剛誕生的兔子
- 第二個月之後(第三個月初)它們可以生育
- 每月每對可生育的兔子會誕生下一對新兔子
- 兔子永不死去
假設在n月有兔子總共a對,n+1月總共有b對。在n+2月必定總共有a+b對:因為在n+2月的時候,前一月(n+1月)的b對兔子可以存留至第n+2月(在當月屬於新誕生的兔子尚不能生育)。而新生育出的兔子對數等於所有在n月就已存在的a對。
Fibonacci數列與黃金分割
斐波那契數亦可以用連分數來表示:
而黃金分割數亦可以用無限連分數表示:
而黃金分割數也可以用無限多重根號表示:
Fibonacci數列和自然的關係
Fibonacci數列恆等式
證明以下的恆等式有很多方法。以下會用組合論述來證明。
不失一般性,我們假設
,Fn+1是計算了將1和2加到n的方法的數目。若第一個被加數是1,有
種方法來完成對n-1的計算;若第一個被加數是2,有Fn-1來完成對n-2的計算。因此,共有
種方法來計算n的值。
如前所述,當n>0,有Fn+2種這樣的方法。因為當中只有一種方法不用使用2,就即1+1+...+1(n+1項),於是我們從 Fn+2減去1。
- 若第1個被加數是2,有 Fn種方法來計算加至n-1的方法的數目;
- 若第2個被加數是2、第1個被加數是1,有Fn-1種方法來計算加至 n-2的方法的數目。
- 重複以上動作。
- 若第n+1個被加數為2,它之前的被加數均為1,就有F0種方法來計算加至0的數目。
若該數式包含2為被加數,2的首次出現位置必然在第1和n+1的被加數之間。2在不同位置的情況都考慮到後,得出
為要求的數目。
Fibonacci數列相關的數列
Fibonacci數列反費波那西
反費波那西數列的遞歸公式如下:
如果它以1,-1,之後的數是:1,-1,2,-3,5,-8, ...
即是
。
反費波那西數列兩項之間的比會趨近
。
Fibonacci數列巴都萬數列
費波那西數列可以用一個接一個的正方形來表現,巴都萬數列則是用一個接一個的等邊三角形來表現,它有
的關係。
Fibonacci數列應用
Fibonacci數列相關猜想
斐波那契數列中是否存在無窮多個素數?
在斐波那契數列中,有素數: 2, 3, 5, 13, 89, 233, 1597, 28657, 514229, 433494437, 2971215073, 99194853094755497, 1066340417491710595814572169, 19134702400093278081449423917…… 已知最大素數是第81839個斐波那契數,一共有17103位數。