ECT理論-牛頓引力理論

在牛頓引力場中，粒子運動的拉格朗日量為 ^[1]  ：

其中

為粒子速度，

為牛頓引力勢，粒子運動方程由最小作用量原理

決定：

因此有：

即：

，這是牛頓引力場中的粒子運動方程。

考慮在牛頓引力場中無壓理想流體的運動，則拉格朗日量變為：

其中：

為流體質量密度，

為體積元。 牛頓引力場本身的拉格朗日量為：

同時考慮引力場和無壓理想流體，其總拉格朗日量為：

為了得到引力場的運動方程，只對

取變分我們有：

其中，

包圍體積V的邊界

因此有引力場運動方程

。 這樣，我們有包含引力場和無壓理想流體的總拉格朗日密度為：

按照分析力學原理，我們有守恆量——哈密頓量（其中：

）為：

其中，

代表理想流體與引力場的相互作用能，可以將它歸為理想流體的能量，也可以把它歸為引力場的能量，我們現在把它歸為引力場的能量，這時需要從引力場運動方程解出：

，代入上式得：

其中：

為包圍體積V邊界。體積V是全空間。 一般我們考慮有限區域的理想流體和引力場的情況，這時邊界是無限遠處，無限遠處的邊界條件是

，其積

，因此

考慮到有限區域的理想流體和引力場以及邊界條件，我們有：

在分析力學中我們稱哈密頓量為能量，因此又可寫為：

哈密頓量是守恆量，即

也即

。 從上面的結果我們看到：

代表理想流體的動能密度

，

代表引力能密度

，這時我們看到總能量密度是

，引力能貢獻的是負能。當然，如果將相互作用能歸為理想流體的能量，則引力能貢獻的是正能，數值仍然是

。