DFS

連續時間週期信號的傅里葉級數有着無窮多的離散頻率分量，兩個連續的頻率分量的間距由連續時間週期信號的週期(

)所決定，等於

。

不同於連續時間週期信號，離散時間週期信號的傅里葉級數是週期性的，它的角頻率範圍是

。對於週期為

的離散時間週期信號，它的頻率分量間距為

，離散時間週期信號的頻率分量只需要

個值。這是連續時間週期信號和離散時間週期信號的傅里葉級數的基本區別。

週期為

的序列

，其離散傅里葉級數展開為：

其中，DFS的逆變換序列：

注意，有些地方為了計算方便，公式有些許變化：

但這無傷大雅。

連續時間週期信號的離散化：

假設連續時間週期信號的週期為

, 那麼它可以展開為傅里葉級數：

其中

,

是連續時間週期信號的諧波頻率分量，可以發現，諧波頻率分量有無窮多個，同時是離散化的，兩個連續的諧波頻率成分的間距為

。

如果我們對連續時間週期信號進行採樣，每隔

時間取一個點，那麼可以得到離散時間週期信號：

注意到

，假設在

一個週期內取

個點，那麼:

於是就有：

進一步化簡:

其中:

是

按週期

的延拓。

上式也即離散時間週期信號的傅里葉級數展開。對連續週期信號的採樣獲得了離散的週期序列信號，在頻域上，原來連續週期信號頻譜從

中

的無窮範圍取值到僅保留

這個區間的值，並進行週期的延拓。