離散傅里葉級數

和連續週期信號相比，離散週期信號的離散傅里葉級數的頻譜是週期性的，因為時域的連續對應於頻率的非週期，時域的離散對應於頻率的週期。所以我們只需要在（0，2π）的頻域區間上取N個點就可以完整表示出來了。這是連續週期信號和離散週期信號傅里葉級數的最根本區別。

週期為N的週期序列

，其離散傅里葉級數為

：

其中，DFS的逆變換序列：

（k=<N>表示對一個週期N內的值求和）

連續週期信號的離散化（下面的討論中，

）：

首先，在傅里葉級數一文中，我們知道函數

是對於任意的T是週期為T的函數，然而其對應的離散信號則不一定是週期的，可以證明，只有當

是有理數時，離散信號f[n]才是週期函數。

其次，在滿足條件1的前提下，連續週期信號

對應的離散信號

對k也具有周期性，其週期為N，即

中只有N個不同的序列。

從離散時間傅里葉變換的係數公式我們可以看出，

也是對k週期為N的函數。

離散傅里葉變換實際上是離散時間傅里葉級數在主值區間上的取值。我們注意到，離散傅里葉變換是對非週期函數f[n]進行的，如果我們對f[n]的定義拓廣為週期函數f'[n]：

<。並且當

時，f'[n]實際上就是f[n]，那麼我們現在可以求出f'[n]的傅里葉級數。同樣，當

時無窮級數變成了積分，得到的結果是一個連續的週期函數

（正如離散傅里葉變換一文中所述），這就是f[n]的離散時間傅里葉變換。這時，只需在它的主值區間上採樣，就可以得到離散傅里葉變換的變換序列。