CIR模型

CIR模型把期限結構視為一種隨機過程，它是利率的一種總體均衡模型。該模型的基礎是，個人從消費單一商品中取得的預期效用達到最大化。在實現效用最大化過程中，每一個人選擇：

1、最佳消費水平。

2、財富中投資於每個生產過程的最佳比例。

3、財富中投資於各種或有債權債券的最佳比例。

然後，剩餘的財富按短期無風險利率進行投資，如果不存在剩餘，而是出現短缺，則通過借款來彌補短缺。根據科克斯等人的觀點，隨着個人做出選擇，並實現效用最大化，短期利率和債券預期收益率會出現調整直至所有的財富都投資於實物生產為止。該均衡過程就被稱為總體均衡概念。CIR模型的特點是，對於所有期限的債券來説，風險—收益比例相同，套利是導致這種現象的力量。

CIR模型認為，利率圍繞一個平均值波動，如果利率偏離了平均值，它總是要回到平均值的。利率回到平均值的時間由模型中的調整速度描述。如果調整速度接近於1，利率將很快回到平均值。用△r表示利率的變化，r表示現行短期利率，R表示平均利率，a表示r的調整速度，δ表示期望值為0的誤差項，可以得到基本的單因素模型公式如下：

△r=a（R-r）+δ

通過重點分析純貼水金融工具，科克斯等人試圖勾畫出債券價格行為背後的隨機過程。在單一因素模型中，他們假設技術狀態用單一狀態變量來表示。他們發現，債券的實際價格是短期利率的遞減的凸形函數，這就是説，各種利率同步變化。此外，與複利的數學計量相符，債券價格是期限的遞減函數。更加令人感興趣的結論是，債券價格是利率與財富之間協方差的遞增函數。在協方差較大的條件下，財富值大，則利率高，債券價格低；財富值小，則利率低，債券價格高。這種理想的資產擁有正的邊際效用，因而影響着財富的價值。

在CIR模型中，債券價格還是利率方差的遞增的凹形函數。科克斯等人認為，較高的方差反映了未來實際生產機會具有較大的不確定性，因而未來的消費具有較大的不確定性，風險迴避投資者就會對債券定價較高，而它的某些收益與各種經濟狀況有關。總體而言，CIR模型認為，在大多數情況下，利率期限結構中包含着正值的期限溢價。根據該模型，期限結構曲線任何一點上收益率的變化都與曲線高一點上收益率的變化完全相關。此外，長期利率收斂於正常利率即前面公式中的平均值，因此長期利率可以被視為CIR模型期限結構所圍繞的核心。調整係數是一項重要的迴歸參數，它告訴我們，長期利率在何種程度上迅速地向正常利率迴歸。

科克斯—英格索爾—羅斯把他們的模型擴展到債券以外的其他證券——這些證券的償付取決於利率——如債券的期權和期貨合同。另外他們探討了期限結構的多因素模型。更新的CIR模型是兩因素的。兩因素模型認為，隨着時間的推移，短期利率將趨向長期利率水平。與單因素模型描述短期利率，認為短期利率趨向一個平均值不同，兩因素模型將利率的變化描述為兩種隨機過程，即短期利率的隨機過程和長期利率的隨機過程。在對諸如長期利率期權等相關證券定價時，這種形式很有用處。

期限結構的CIR模型的優點是它產生於經濟中的內在經濟變量和總體均衡。因此，它包含了風險迴避、時間消費偏好、財富限制、導致風險補償的因素和眾多的投資選擇。儘管該公式具有眾多優點，但是它太複雜，在估算經濟參數、風險參數和進行現實預測方面產生困難。使用CIR模型的研究者試圖簡化假設，並簡化該模型中包括的連續數學計算，可以推導出債券以及其他金融工具的定價公式。