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反正弦函數
鎖定
在數學中，反三角函數（antitrigonometric functions），偶爾也稱為弓形函數（arcus functions），反向函數（reverse function）或環形函數（cyclometric functions））是三角函數的反函數（具有適當的限制域）。 具體來説，它們是正弦，餘弦，正切，餘切，正割和輔助函數的反函數，並且用於從任何一個角度的三角比獲得一個角度。 反三角函數廣泛應用於工程，導航，物理和幾何。
反正弦函數（反三角函數之一）為正弦函數y=sinx（x∈[-½π,½π]）的反函數，記作y=arcsinx或siny=x（x∈[-1,1]）。由原函數的圖像和它的反函數的圖像關於一三象限角平分線對稱可知正弦函數的圖像和反正弦函數的圖像也關於一三象限角平分線對稱。
- 中文名
- 反正弦函數
- 外文名
- Arcsin function
- 表達式
- y=arcsinx
- 學 科
- 數學
- 定義域
- [-1,1]
- 值 域
- [-π/2，π/2]
- 相關名詞
- 反餘弦函數
反正弦函數簡介
在數學中，反三角函數（偶爾也稱為弓形函數（arcus functions），反向函數（antitrigonometric functions）或環形函數（cyclometric functions）是三角函數的反函數（具有適當的限制域）。 具體來説，它們是正弦，餘弦，正切，餘切，正割和輔助函數的反函數，並且用於從任何一個角度的三角比獲得一個角度。 反三角函數廣泛應用於工程，導航，物理和幾何。
反正弦函數（反三角函數之一）為正弦函數y=sinx（x∈[-½π,½π]）的反函數，記作y=arcsinx或siny=x（x∈[-1,1]）。由原函數的圖像和它的反函數的圖像關於一三象限角平分線對稱可知正弦函數的圖像和反正弦函數的圖像也關於一三象限角平分線對稱。
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反正弦函數公式
用x表示自變量，用y表示因變量（函數值）時，正弦函數
的反函數叫做反正弦函數，記作
反正弦函數圖像
圖1 反正弦函數
反正弦函數性質
定義域
反正弦函數的定義域為
值域
反正弦函數的值域
單調性
反正弦函數是單調遞增函數。
證明。法一：
因為
證畢。
法二：令
且
，
因為
即
於是正弦函數在該區間上為增函數。所以，由反函數的性質，反正弦函數為增函數。
證畢。
奇偶性
反正弦函數是奇函數。即
證明。知在反正弦函數的值域上，正弦函數是奇函數，則反正弦函數也是奇函數。證畢。
導函數
反正弦函數的導函數
且
運算性質
反三角函數的三角函數如下式所示。 推導它們的一個快速方法是通過考慮直角三角形的幾何形狀，其長度為1的一側，長度x的另一側（0和1之間的任何實數），然後應用勾股定理和三角比。
反三角函數的三角函數
反三角函數之間的關係
互餘角度：
互餘角度
負參數：
負參數
倒數參數：
倒數參數
倒數參數
反正弦函數微分性態
反三角函數的導數
z的複數值的導數
z的複數值的導數
無窮級數
反正弦函數應用
找到一個直角三角形的角度
當三角形邊的長度已知時，當嘗試確定直角三角形的剩餘兩個角度時，反三角函數是有用的。 回想起正三角形的正確定義，例如，
反三角函數應用
直角三角形的角度
通常，斜邊是未知的，需要使用勾股定理定理在使用反正弦或反曲線之前進行計算：
其中h是斜邊的長度。 在這種情況下，反正切是有用的，因為斜邊的長度是不需要的。
直角三角形的角度
例如，假設當屋頂耗盡20英尺時，屋頂會下降8英尺。 屋頂與水平面形成一個角度θ，其中θ可以如下計算：
數值精度
- 參考資料
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- 1. 謝樹藝. 工程數學[M]. 高等教育出版社, 2012.
- 2. 顧瑛. 可靠性工程數學[M]. 電子工業出版社, 2004.
- 3. Taczanowski, Stefan (1978-10-01). "On the optimization of some geometric parameters in 14 MeV neutron activation analysis". Nuclear Instruments and Methods. ScienceDirect. 155 (3): 543–546. Retrieved 2017-07-26.
- 4. Hazewinkel, Michiel (1994) [1987]. Encyclopaedia of Mathematics (unabridged reprint ed.). Kluwer Academic Publishers / Springer Science & Business Media. ISBN 978-155608010-4. ISBN 1556080107.
