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度量張量
鎖定
在
黎曼幾何裏面,度量張量,物理學譯為度規張量,是指用來衡量度量空間中距離及
角度的二階張量。
- 中文名
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度量張量
- 外文名
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Metric tensor
- 別 名
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黎曼度量
- 物理學定義
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度規張量
- 用 途
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衡量度量空間中距離,面積及角度
- 應用學科
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數學
度量張量介紹
在黎曼幾何裏面,
度量張量(英語:Metric tensor)又叫
黎曼度量,物理學譯為
度規張量,是指一用來衡量
度量空間中距離,面積及角度的二階
張量。
[1]
當選定一個局部座標系統
,度量張量為二階張量一般表示為
,也可以用
矩陣表示,記作為
G或
g。而
記號傳統地表示度量張量的
協變分量(亦為“矩陣元素”)。
度量張量定義
a到 b的弧線長度定義如下,其中參數定為t,t由a到b:
[2]
若 f為
到
的局部微分同胚,其誘導出的度量張量的矩陣形式G,由以下方程計算得出:
J 表示f的
雅可比矩陣,它的轉置為
。著名例子有
之間從極座標
到直角座標(x,y) 的座標變換,在這例子裏有:
這映射的雅可比矩陣為
所以
度量張量例子
二維歐幾里德度量張量:
弧線長度轉為熟悉微積分方程式:
在其他座標系統的歐氏度量:
在一些習慣中,與上面相反地,時間ct的度規分量取正號而空間 (x,y,z)的度規分量取負號,故
矩陣表示為:
- 參考資料
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1.
李開泰, 黃艾香. 張量分析及其應用[M]. 科學出版社, 2004.
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2.
黃克智. 張量分析[M]. 清華大學出版社有限公司, 2003.