高斯混合模型

高斯模型就是用高斯概率密度函數（正態分佈曲線）精確地量化事物，將一個事物分解為若干的基於高斯概率密度函數（正態分佈曲線）形成的模型。 對圖像背景建立高斯模型的原理及過程：圖像灰度直方圖反映的是圖像中某個灰度值出現的頻次，也可以以為是圖像灰度概率密度的估計。如果圖像所包含的目標區域和背景區域相差比較大，且背景區域和目標區域在灰度上有一定的差異，那麼該圖像的灰度直方圖呈現雙峯-谷形狀，其中一個峯對應於目標，另一個峯對應於背景的中心灰度。對於複雜的圖像，尤其是醫學圖像，一般是多峯的。通過將直方圖的多峯特性看作是多個高斯分佈的疊加，可以解決圖像的分割問題。 在智能監控系統中，對於運動目標的檢測是中心內容，而在運動目標檢測提取中，背景目標對於目標的識別和跟蹤至關重要。而建模正是背景目標提取的一個重要環節。

我們首先要提起背景和前景的概念，前景是指在假設背景為靜止的情況下，任何有意義的運動物體即為前景。建模的基本思想是從當前幀中提取前景，其目的是使背景更接近當前視頻幀的背景。即利用當前幀和視頻序列中的當前背景幀進行加權平均來更新背景,但是由於光照突變以及其他外界環境的影響，一般的建模後的背景並非十分乾淨清晰，而高斯混合模型(GMM，Gaussian mixture model)是建模最為成功的方法之一，同時GMM可以用在監控視頻索引與檢索。

混合高斯模型使用K（基本為3到5個） 個高斯模型來表徵圖像中各個像素點的特徵，在新一幀圖像獲得後更新混合高斯模型，用當前圖像中的每個像素點與混合高斯模型匹配,如果成功則判定該點為背景點，否則為前景點。通觀整個高斯模型，他主要是有方差和均值兩個參數決定，對均值和方差的學習，採取不同的學習機制，將直接影響到模型的穩定性、精確性和收斂性。由於我們是對運動目標的背景提取建模，因此需要對高斯模型中方差和均值兩個參數實時更新。為提高模型的學習能力,改進方法對均值和方差的更新採用不同的學習率；為提高在繁忙的場景下,大而慢的運動目標的檢測效果，引入權值均值的概念，建立背景圖像並實時更新，然後結合權值、權值均值和背景圖像對像素點進行前景和背景的分類。具體更新公式如下：

μt= (1 - ρ)μt- 1 +ρxt (1)

σ2t = (1 - ρ)σ2t- 1 +ρ( xt -μt ) T ( xt -μt ) (2)

ρ =αη( xt | μκ,σκ ) (3)

| xt -μt - 1 | ≤ 2. 5σt- 1 (4)

w k , t = (1 - α) w k , t - 1 +αMk , t (5)

式中ρ為學習率，即反映當前圖像融入背景的速率。 ^[1] 

建模過程中，我們需要對混合高斯模型中的方差、均值、權值等一些參數初始化，並通過這些參數求出建模所需的數據，如馬氏距離。在初始化過程中，一般我們將方差設置的儘量大些（如15），而權值則儘量小些（如0.001）。 這樣設置是由於初始化的高斯模型是一個並不準確，可能的模型，我們需要不停的縮小他的範圍，更新他的參數值，從而得到最可能的高斯模型，將方差設置大些，就是為了將盡可能多的像素包含到一個模型裏面，從而獲得最有可能的模型。部分代碼如下：

for(i=0; i<K_MODELS; i++) //K_MODELS為預先定義的模型數

{

// calculate the vector, v = (X - u)

for(j=0; j<3; j++)

v[j] = pixel[j] - model[i]->mean[j];

// calculate the squared distance, d = |v|^2

model[i]->dist2 = v[0]*v[0] + v[1]*v[1] + v[2]*v[2];

// zot: this is only equal to mahalanobis distance

// when covariance matrix = vI

// (v = scalar variance for all channels)

model[i]->mah2 = model[i]->dist2 / model[i]->var;

//即為馬氏距離

// see if X is close enough to this model

if (model[i]->mah2 < SFSquared)

break;

// the current pixel matches one of the K models

//SFSquared是預定義的值

} ^[1] 

同時這時又產生了一個疑問，那麼如何得知我們的模型是否超過預定義的模型數了呢？這便是我們設置權值的其中一個原因了。根據大量的試驗，我們得出當前面幾個模型數的權值之和在T值（一般設為0.75）之內時，效果最好，因此當我們將前面的模型權值相加，當超過0.75時便捨去後面的模型。當然其中還有一個重要的問題，我們是如何得知前面的模型是相對來説最有可能的模型，而非被捨去的模型呢？在這裏我們首先要對各個模型的權值進行排序，按照權值與方差的比率的從大到小，對模型進行排序。由於一開始建立的模型肯定是不可靠的，在最後基本會被捨棄，因此我們在初始化的時候將初始模型的方差儘量大，而權值儘量小，從而使最不可能的模型排在比較後面。 到這裏為止，混合高斯模型的建模基本完成，我在歸納一下其中的流程，首先初始化預先定義的幾個高斯模型，對高斯模型中的參數進行初始化，並求出之後將要用到的參數。其次，對於每一幀中的每一個像素進行處理，看其是否匹配某個模型，若匹配，則將其歸入該模型中，並對該模型根據新的像素值進行更新，若不匹配，則以該像素建立一個高斯模型，初始化參數，代理原有模型中最不可能的模型。最後選擇前面幾個最有可能的模型作為背景模型，為背景目標提取做鋪墊。