加權平均

一般來説，平均數反映了一組數據的一般水平，利用平均數，可以從橫向和縱向兩個方面對事物進行分析比較，從而得出結論。例如，要想比較同一年級的兩個班同學學習成績，如果用每個班的總成績進行比較，會由於班級人數不同，而使比較失去真正意義。但是如果用平均分數去比較，就可以把各班的平均水平呈現出來。從縱向的角度來看，可以對同一個事物在不同的時間內的情況利用平均數反映出來，例如，通過兩個不同時間人均年收入來比較人們生活水平、經濟發展等狀況。

“權”的古代含義為秤砣，就是秤上可以滑動以觀察重量的那個鐵疙瘩。

《孟子·梁惠王上》曰:“權，然後知輕重。”。

在日常生活中，我們常用平均數表示一組數據的‘平均水平’。在一組數據裏，一個數據出現的次數或衡量該數據點的重要程度的數字稱為權。

例子：學校學期末成績，期中考試佔30%，期末考試佔50%，作業佔20%，假如某人期中考試得了84，期末92，作業分91，如果是算數平均，那麼就是

；

加權後的，那麼加權處理後就是

，這是在已知權重的情況下；未知權重的情況下想知道兩個班的化學加權平均值，一班50人，平均80，二班60人，平均82，算數平均是

，加權後是

.

還有一種情況類似第一種也是人為規定，比如説你覺得專家的分量比較大，老師其次，學生最低，就某觀點，滿分10分的情況下，專家打8分，老師打7分，學生打6分，但你認為專家權重和老師及學生權重應為0.5:0.3:0.2，那麼加權後就是

，而算數平均的話就是

。

小測成績是80分，期末考成績是90分，計算總的平均成績，按小測40%、期末成績60%的比例來算，平均成績是：80×40%+90×60%=86

學校食堂吃飯，吃三碗的有 x 人，吃兩碗的有 y 人，吃一碗的 z 人。平均每人吃

。這裏x、y、z分別就是權數值，“加權”就是考慮到不同變量在總體中的比例份額。

加權平均數=

，其中

，f₁，f₂，…，f_k叫做權。通過數和權的乘積來計算 。需要注意的是：算術平均實際上是一種特殊的加權平均，即權重相同的加權平均。比如

。那麼加權平均數=

，實際上確切的説是一種算術平均。

當一組數據中的某些數重複出現幾次時，那麼它們的平均數的表示形式發生了一定的變化.例如，某人射擊十次，其中二次射中10環，三次射中8環，四次射中7環，一次射中9環，那麼他平均射中的環數為:

這裏，7，8，9，10這四個數是射擊者射中的幾個不同環數，但它們出現的頻數不同，分別為4，3，1，2，數據的頻數越大，表明它對整組數據的平均數影響越大，實際上，頻數起着權衡數據的作用，稱之為權數或權重，上面的平均數稱為加權平均數，不難看出，各個數據的權重之和恰為10.

在加權平均數中，除了一組數據中某一個數的頻數稱為權重外，權重還有更廣泛的含義。

其實，在每一個數的權數相同的情況下，加權平均值就等於算數平均值。

此外在一些體育比賽項目中，也要用到權重的思想.比如在跳水比賽中，每個運動員除完成規定動作外，還要完成一定數量的自選動作，而自選動作的難度是不同的，兩位選手由於所選動作的難度係數不同，儘管完成各自動作的質量相同，但得分也是不相同的，難度係數大的運動員得分應該高些，難度係數實際上起着權重的作用.

在評估某個同學一學期的學生成績時，一般不只看他期末的一次成績，而是將平時測驗、期中考試等成績綜合起來考慮，比如説，一同學兩次單元測驗的成績分別為88，90，期中的考試成績為92，而期末的考試成績為85，如果簡單地計算這四個成績的平均數，即將平時測驗與期中、期末考試成績同等看待，就忽視了期末考試的重要性.鑑於這種考慮，我們往往將這四個成績分配以不同的權重。

由於10%+10%+30%+50%=1，即各個權重之和為1，所以求加權平均數的式子中分母為1．

88×10%+90×10%+92×30%+85×50%=87.9

下面的例子是未知權重的情況：

股票A，1000股，價格10；

股票B，2000股，價格15；

算數平均 =

；

加權平均 =

而普通的算術平均數的權重相等，都是1，（比如，3和5的平均數為4）也就是説它們的重要性相同，所以平均數是特殊的加權平均數.