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馮·諾伊曼全集
鎖定
在集合論和有關的數學分支中,馮·諾伊曼全集或馮·諾伊曼集合層次,是由所有集合組成的類,可以分成超限階級的個體集合(a transfinite hierarchy of individual sets)。
- 中文名
- 馮·諾伊曼全集
- 分 類
- 數理科學
馮·諾伊曼全集定義
馮·諾伊曼全集用超限歸納法定義為如下:
- 設V0是空集{}。
- 最後,設V是所有V-階段的並:
馮·諾伊曼全集V和集合論
如果ω是自然數的集合,則Vω是繼承有限集合的集合,它是不帶有無窮公理的集合論的模型。Vω+ω是普通數學的全集。它是Zermelo集合論的模型。如果κ是不可及基數,則Vκ是Zermelo-Fraenkel集合論自身的模型,而Vκ+1是Morse–Kelley集合論的模型。
注意所有個體階段Vα都是集合,但是它們的並集V是真類。在V中的集合叫做繼承良基集合;基礎公理要求所有集合是良基的而因此是繼承良基的。(也有的公理系統忽略基礎公理,或把基礎公理替換為其強否定,如Aczel的反基礎公理,不過這類系統很少被用到)。
馮·諾伊曼全集哲學觀點
有兩種不同的方式來理解馮·諾伊曼全集V和ZFC的聯繫。粗略的説,形式主義者傾向於把V看作是從ZFC公理推出的某種東西(例如,ZFC證明了所有集合都在V中)。在另一方面,實在論者會把馮·諾伊曼全集看作從直覺可直接觸及的某種東西,而把ZFC公理看作在V中為真的命題,透過簡單論證(透過自然語言),可以使人信服它們的真確性。一個可能的中間立場是,馮·諾伊曼層次的形象化概念給ZFC公理提供了一個動機(所以這些公理不是任意提出來的),但這不意味ZFC公理確實有描述真實存在的對象。
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