頂點式

在二次函數的圖像上

頂點式：

，拋物線的頂點：

。

頂點座標：對於一般二次函數

其頂點座標為

。

一般式

提出

得

配方得

令

則

所以頂點座標為

1．會用描點法畫出二次函數的圖像。

2．能利用圖像或解析式確定拋物線的開口方向及對稱軸、頂點的位置。

3．會根據已知圖像上三個點的座標求出二次函數的解析式。

4． 將一般式化為頂點式。

概念

1．二次函數

，

，

，

（各式中，

）的圖像形狀相同，只是位置不同，它們的頂點座標及對稱軸如下表：

解析式：

頂點座標：

，

，

，

對稱軸：

，

，

，

當

時，

的圖像可由拋物線

向右平行移動

個單位得到；

當

時，則向左平行移動

個單位得到；

當

，

時，將拋物線

向右平行移動

個單位，再向上移動

個單位，就可以得到

的圖像；

當

，

時，將拋物線

向右平行移動

個單位，再向下移動

個單位可得到

的圖像；

當

，

時，將拋物線向左平行移動

個單位，再向上移動

個單位可得到

的圖像；

當

，

時，將拋物線向左平行移動

個單位，再向下移動

個單位可得到

的圖像；

因此，研究拋物線

的圖像，通過配方，將一般式化為

的形式，可確定其頂點座標、對稱軸、拋物線的大體位置就很清楚了，這給畫圖像提供了方便。

2．拋物線

的圖像：當

時，開口向上，當

時開口向下，對稱軸是直線

，頂點座標是

。

3．拋物線

，若

，當

時，

隨

的增大而減小；當

時，

隨

的增大而增大。若

，當

時，

隨

的增大而增大；當

時，

隨

的增大而減小。

4．拋物線

的圖像與座標軸的交點：

（1）圖像與

軸一定相交，交點座標為

；

（2）當

，圖像與

軸交於兩點

和

，其中的

和

是一元二次方程

的兩根；

（3）當

，圖像與

軸只有一個交點；

當

，圖像與

軸沒有交點。當

時，圖像落在

軸的上方，

為任何實數時，都有

；當

時，圖像落在

軸的下方，

為任何實數時，都有

。

5．拋物線

的最值：

頂點的橫座標是取得最值時的自變量值，頂點的縱座標是最值的取值。

6．用待定係數法求二次函數的解析式：

（1）當題給條件為已知圖像經過三個已知點或已知

、

的三對對應值時，可設解析式為一般形式：

（2）當題給條件為已知圖像的頂點座標或對稱軸時，可設解析式為頂點式：

。

（3）當題給條件為已知圖像與

軸的兩個交點座標時，可設解析式為兩根式：

。

7．二次函數知識很容易與其它知識綜合應用，而形成較為複雜的綜合題目。因此，以二次函數知識為主的綜合性題目是中考的熱點考題，往往以大題形式出現。

拋物線字母和拋物線的關係：

1.拋物線的一般式：

頂點式：

2.拋物線

化成頂點式為

頂點座標為

對稱軸為

最值為

3.

時開口向上。

時開口向下。

相同,則形狀相同。

越大,則開口小。

越小,則開口大。

4.

時，拋物線有最低點，有最小值；

時，拋物線有最高點，有最大值。

5.

時

在對稱軸左側，

隨

的增大而減小；

在對稱軸右側，

隨

的增大而增大。

時

在對稱軸左側，

隨

的增大而增大；

在對稱軸右側，

隨

的增大而減小。

6.判斷拋物線

與

軸的交點的位置由

決定。

當

時拋物線與

軸相交於正半軸上；

當

時拋物線與

軸相交於原點；

當

時拋物線與

軸相交於負半軸上。

7.拋物線與

軸交點的個數由

決定。

當

時，拋物線與

軸有

個交點；

當

時，拋物線與

軸只有

個交點，即頂點在

軸上；

當

時，拋物線於

軸總有交點；

當

時，拋物線與

軸沒有交點。