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面積積分
鎖定
- 中文名
- 面積積分
- 又 稱
- 面積函數
- 提出者
- Η.Η.盧津
- 涉及學科
- 數學
這裏δ是小於1的某個正數,Ωδ(θ)是由點e引圓周Cδ(│z│=δ)的兩條切線與Cδ上被兩切點所截的、離e較遠的圓弧所圍的區域。
積分(1)中的被積函數
是映射z→ƒ(z)的雅可比行列式,當ƒ(z)為一一映射時,可知(Sδ(ƒ)(θ))正好是區域Ωδ(θ)在映射ƒ下的映像面積。面積積分的名字由此而來。
Sδ(ƒ)(θ)在某些點e處,可能是無限的。但是,盧津為了研究一類解析函數的性質,證明了當 ƒ(z)∈h,即
時,對於單位圓周上幾乎所有的e,面積函數Sδ(ƒ)(θ)都是有限的,並且
, (2)
式中ƒ(e)是ƒ的邊值函數;當ƒ(0)=0時,還成立下面的相反不等式
, (3)
式中Aδ是常數,決定於δ。
後來,J.馬欽凱維奇和A.贊格蒙把上述定理又推廣到函數類h(p>0),即滿足條件
的圓內解析函數全體。
面積積分的重要性,還在於它本質上可以局部地刻畫圓內解析函數ƒ 在邊界z=e 處非切向極限的存在性。確切地説,除了一零測度集外,圓內解析函數ƒ 在邊界z=e處具有非切向極限的充分必要條件是
。
這説明Sδ(ƒ)(θ)與ƒ的邊界性質有着十分深刻的內在聯繫,因此它是表達圓內解析函數邊界性質的一個重要工具。正是這一點,它在研究高維空間的h理論時,發揮了非常重要的作用。