盧津

盧津是莫斯科數學學派的中心人物。他對函數可測性與測度理論、描述性函數論、射影集均有研究。盧津在解析函數的邊界性質以及由函數的邊界值確定函數本身等問題上也曾作出過重要貢獻。他在微分幾何、微分方程等領域都有建樹。關於曲面的變形問題，在某種意義上是他獲得了最終的結果。他還建立了解析集合論中一系列重要定理。

傅里葉級數理論中的一個著名問題。1913年俄國數學家Η.Η.盧津在他發表的一篇論文中，提出瞭如下的猜想:區間【0,2π】上平方可積函數的傅里葉級數,在【0,2π】上幾乎處處收斂。這個猜想經過半個多世紀許多數學家的努力，終於被瑞典數學家L.卡爾森於用非常深刻的數學方法所證實。

傅里葉級數理論是19世紀初，從關於熱傳導的研究中產生的。中心問題是:怎樣的函數可以用它的傅里葉級數來表示?隨着勒貝格測度、勒貝格積分理論的創立,傅里葉級數的幾乎處處收斂問題逐漸為人們所重視。1906年，P.J.L.法圖首先證明。

盧津猜想發表之後，引起了世界上許多數學家的關注。在長長的53年中,這個猜想既不能被證實,也無法被否定。但是圍繞着它，出現了從正反兩方面研究的一些重要成果。1923年，Α.Η.柯爾莫哥洛夫構造了一個可積函數，它的傅里葉級數幾乎處處發散。1926年他又發現了一個傅里葉級數處處發散的可積函數。但這兩個可積函數都不是平方可積的。因此盧津猜想不能被否定。從肯定方面來接近盧津猜想的,則有1925年柯爾莫哥洛夫、Γ.A.謝利維奧爾斯托夫和A.普萊斯納的工作。他們把W(n)進一步降低到logn，但這離盧津猜想的證實仍有很大距離。以後的40多年沒有什麼顯著的進展。基於上述柯爾莫哥洛夫的兩個反例，在相當一部分有影響的數學家中，逐漸產生了否定盧津猜想的傾向。例如1946年,在為紀念美國普林斯頓大學建校200週年舉行的數學問題討論會上，A.贊格蒙就認為，在三角級數理論方面提出猜想，根據歷史的經驗，往往是要失敗的。他指出，甚至連續函數的傅里葉級數是否必有收斂點都還不清楚。他是從否定盧津猜想的角度來考慮的。其後，盧津猜想一般就改變成兩個帶有傾向性的正反兩方面的問題：①是否存在連續函數，它的傅里葉級數在某個正測度的點集上發散？②是否所有連續函數的傅里葉級數都幾乎處處收斂？把問題集中到連續函數，這就反映了一定程度的傾向性,即認為原來的盧津猜想未必成立。可是改變後的盧津問題的證明仍沒有多大進展。