非線性薛定諤方程

當勢場依賴於波函數時，就導出了非線性薛定諤方程，其一般形式為

其中，

是復值函數。

為是非線性作用項，典型的情形為：

當

時稱為聚焦型（focusing）；

當

時稱為非聚焦型（defocusing ）。

除了量子力學之外，非線性薛定諤方程還可以用來描述物理中的各種非線性波，如激光束在折射率與波幅有關的介質中的傳播、理想流體在自由上的水波、等離子波等。

[Schrodinger equation]

薛定諤方程是量子力學中的基本方程，它與相應的附加條件一起，決定表徵量子系統狀態的波函數

。對於非相對論性且無自旋粒子的系統，首先由薛定諤在1926年導出，其形式為

其中，

是哈密頓算子。算子

按以下通則構造：在經典哈密頓函數H(p，r)中將粒子動量 p 及其座標 r 用相應算子代替，在座標表象

和動量表象

中，它們分別具有如下形式：

對於由矢勢A（t，r）表徵的電磁場中（電量為 e ）的帶電粒子，動量 p 要有

代替（國際單位制）。在這些表象中，薛定諤方程是一個偏微分方程，如對勢場U(r)中的粒子，相應的波函數

滿足

將薛定諤方程推廣到具有自旋

的非相對論粒子的情況（二分量函數

）稱為泡利方程（Pauli equation）；推廣到具有自旋

的相對論粒子的情況（四分量函數

）稱為狄拉克方程（Dirac equation）；推廣到無自旋的相對論粒子的情況稱為克萊因方程（Klein-Gordon equation）；推廣到自旋為 1 的相對論粒子的情況（函數

是一向量）稱為普羅卡方程（Proca equation）。 ^[1]