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哈密頓算子

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在磁場和電場理論中，為簡化運算，引入了一些算子的符號，它們已經成為場論分析中不可缺少的工具，應用較多的有哈密頓算子和拉普拉斯算子。哈密頓算子（ Hamiltonian）， 數學符號為▽，讀作Nabla。量子力學中，哈密頓算子(Hamiltonian) 為一個可觀測量（observable），對應於系統的的總能量。
中文名
哈密頓算子
外文名
Hamiltonian
數學符號
▽
讀    作
Nabla
縮寫符號
H
應用學科
磁場和電場理論，數學

目錄

  1. 1 定義
  2. 2 運算規則
  3. ▪ 矢性微分算子
  1. ▪ 與拉普拉斯算子的關係
  2. 3 常用公式
  1. ▪ 準備工作
  2. ▪ 公式彙總

哈密頓算子定義

哈密頓（W.R.Hamiltonian）引進了一個矢性微分算子：
，稱之為哈密頓算子或者▽ 算子。 [1] 
記號▽ 讀作“那勃樂（Nabla）”，在運算中既有微分又有矢量的雙重運算性質，其優點在於可以把對矢量函數的微分運算轉變為矢量代數的運算，從而可以簡化運算過程，並且推導簡明扼要，易於掌握。 [1] 
▽ 本身並無意義，就是一個算子，同時又被看作是一個矢量，在運算時，具有矢量和微分的雙重身份。 [2] 

哈密頓算子運算規則

哈密頓算子矢性微分算子

哈密頓引進了一個矢性微分算子稱為哈密頓算子或
算子：
。
記號
讀作“那勃勒”，在運算中既有微分又有矢量的雙重運算性質，其優點在於可以把對矢量函數的微分運算轉變為矢量代數的運算，從而可以簡化運算過程，並且推導簡明扼要，易於掌握。
其運算規則為
(1)
[1] 
(2)
[1] 
(3)
[1] 
數量（標量）場的梯度與矢量場的散度和旋度可表示為：
（1）
；
（2）
；
（3）
。 [1] 

哈密頓算子與拉普拉斯算子的關係

哈密頓算子常用公式

哈密頓算子準備工作

設，首先引入新的矢性微分算子，如下所示：
它既可以作用在數性函數 u=u(M) 上，又可以作用在矢性函數B(M) 上。
（1）
；
（2）
。
需要注意的是：
（1）
與
是完全不同的；
（2）
與
是無意義的。 [2] 

哈密頓算子公式彙總

（1）
（C為常數）； [1] 
（2）
（C為常數）；
（3）
（C為常數）；
（4）
；
（5）
；
（6）
；
（7）
（C為常矢）；
（8）
（C為常矢）；
（9）
；
（10）
；
（11）
；
（12）
；
（13）
；
（14）
；
（15）
；
（16）
；
（17）
； [1]  [3] 
（18）
，其中
。 [2] 
參考資料
  • 1.    彭麗等編著．積分變換與場論．北京：中國鐵道出版社，2015：122-124
  • 2.    河北科技大學理學院數學系編．矢量分析與場論．北京：清華大學出版社，2015：63-68
  • 3.    彭麗等編著. 積分變換與場論[M]. 北京：中國鐵道出版社, 2015.08.第122頁.