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零態射

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零態射(zero morphism)是有零對象的範疇中的一類特殊態射。許多常見範疇，如羣範疇、環範疇、環模疇等，將它們的零同態概念抽象出來即得零態射的概念，它在範疇論中起着相當重要的作用。設範疇C有零對象(在等價意義下必惟一)Z，Hom(A，Z)與Hom(Z，B)的惟一元素分別為0AZ和0ZB。其合成0ZB0AZ不隨Z的選擇而改變，記此合成為0AB，稱為Hom(A，B)中的零態射，對取定的A，B，這是惟一的，有時也簡記為0 [1]  。
中文名
零態射
外文名
zero morphism
所屬學科
數學（範疇論）
性    質
有零對象的範疇中的一類特殊態射
相關概念
零對象、範疇、對偶原則等

目錄

  1. 1 基本介紹
  2. 2 零對象與零態射
  3. ▪ 定義
  4. ▪ 例題解析
  5. 3 相關定理

零態射基本介紹

若範疇
有零對象，則在同構意義下是唯一的。設Z是任意一個零對象，
與
為
與
中唯一的元素，則乘積
不隨零對象的選取而改變。
通常以
來表示乘積
，這裏Z是任一零對象，這個
叫作
中的零態射 [2]  。

零態射零對象與零態射

零態射定義

定義1 若對任何對象
一定是單元集( 即僅含有一個元的集合)，則叫作始對象；若對任何對象
一定是單元集，則叫作終對象； 若Z既是始對象又是終對象，則Z稱為零對象。
始對象與終對象是相互對偶的概念。
定義2設
是一個範疇。
1)如果如果
滿足：對於任意的
恰由一個元素組成，則稱A 為
中的一個初始對象；
2)如果對於任意的
恰由一個元素組成，則稱A 為
中的一個末端對象；
3)如果A 既是
中的初始對象，又是末端對象，則稱A 為
的一個零對象。
如果
有零對象，則稱
為具有零對象的範疇。
設
為具有零對象0的一個範疇，X 和Y 是
中任意兩對象，則有唯一的態射
和
於是，有複合態射
即
態射
稱為零態射，記為
。

零態射例題解析

例1在
中
是一個初始對象；任一單元素集是一個末端對象；但無零對象。
例21)平凡(即一個元素的)BCK-代 數 是
中 的一 個零對象；
2)平凡BCI-代數是
中的一個零對象；
3)平凡BCH-代數是
中的一個零對象；
4)平凡(2,0)型代數是
中的一個零對象；
5)平凡羣
是中的一個零對象。
例3在A(2,0)中，零態射
正是通常的零同態映射。在
及
中都可得到此類似結果，這正是將
稱為零態射的一個原因 [3]  。

零態射相關定理

定理1 假若
是在範疇
中的一個零態射，那麼
且
。
定理2在一個範疇
中的始對象與終對象是對偶的，從而零對象是自對偶的。
證明：設
表示範疇
中始對象的定義。於是
：
是
中的始對象,假若對於
中的每一X，
恰有一個成員。
：
是
中驗始對象，假若對於
中的每一對象X，
恰有一個成員。
：
是
中的終對象，假若對於
中的每的X，
恰有一個。
定理3 在一個範疇
中，一切初始對象是同構的，一切末端對象是同構的；如果
有零對象，則一切零對象是同構的。
定理4設
是具有零對象0的一個範疇，則對於
中的任何態射
和
有
且
證明：證(1)中第一式。由圖1，其中
和
分別是
和
中唯一的態射，且
，顯然，
，從而，
2) (1)中第二式可類似地證明 [3]  。
參考資料
  • 1.    《數學辭海》編輯委員會． 數學辭海·第二卷：中國科學技術出版社，2002.08
  • 2.    姚海樓，平豔茹．模論：北京工業大學出版社，2014.02
  • 3.    胡慶平，李丹．泛代數：華中理工大學出版社，1993.02