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雙曲正切函數
鎖定
雙曲正切函數（hyperbolic tangent function）是雙曲函數的一種。雙曲正切函數在數學語言上一般寫作tanh，也可簡寫成th。與三角函數一樣，雙曲函數也分為雙曲正弦、雙曲餘弦、雙曲正切、雙曲餘切、雙曲正割、雙曲餘割6種，雙曲正切函數便是其中之一。
與正切函數類似，雙曲正切函數在計算上等於雙曲正弦與雙曲餘弦的比值，即tanh(x)=sinh(x)/cosh(x)。
- 中文名
- 雙曲正切函數
- 外文名
- hyperbolic tangent function, tanh
- 縮 寫
- th
雙曲正切函數定義
雙曲正切函數
雙曲正切函數運算
導數
雙曲正切的導數是雙曲餘弦的平方的倒數，即：
積分
泰勒展開
反函數
函數的定義域為開區間（-1,1），它在開區間（-1,1）內是單調增加的奇函數，圖形關於原點對稱。
與其他雙曲函數的關係
除了雙曲正切函數的定義式外，雙曲正切函數還有以下式子。
1、和角公式：
2、差角公式：
（和角公式的推導）
3、二倍角公式：
（和角公式的推導）
4、恆等式：
雙曲正切函數性質
雙曲正切函數有界性
即雙曲正切函數的值域是(-1,1)。
證明：
當
時，由於
,則
。
當
時，由於
，則
。
雙曲正切函數奇偶性
下面是證明：首先明確雙曲正切函數的定義域是
。
而
得出
，則證明出雙曲正切函數為奇函數。
雙曲正切函數週期性
雙曲正切函數單調性
證明如下：
對雙曲正切函數求導。
而
雙曲正切函數凹凸性
雙曲正切函數的圖像
根據定理：設f(x)在[a,b]上連續，在（a,b）內具有一階和二階導數，那麼
（1）若在（a,b）內
,則f(x)在[a,b]上的圖形是凹的。
（2）若在（a,b）內
,則f(x)在[a,b]上的圖形是凸的。
則給雙曲餘弦函數二次求導，得
而雙曲餘弦函數恆大於0，而雙曲正弦函數在x<0時，它的值小於0，x>0時，它的值大於0，即得出上述結論。
