雙伽瑪函數

雙伽瑪函數，通常用ψ0(x)、ψ(x)或 F來表示，與調和數有以下的關係：

其中Hn是第n個調和數，γ是歐拉-馬歇羅尼常數。對於半整數的值，它可以表示為：

它有以下的積分表示法：

也可以寫為

這可以從調和數的歐拉積分公式得出。

雙伽瑪函數有一個有理ζ級數，由z=1的泰勒級數給出。這是

當|z|<1時收斂。在這裏，{\displaystyle \zeta (n)}是黎曼ζ函數。這個級數可以很容易從赫爾維茨ζ函數的泰勒級數推導出。

雙伽瑪函數的牛頓級數可從歐拉積分公式得出：

其中{\displaystyle \textstyle {s \choose k}}是二項式係數。

雙伽瑪函數滿足一個反射公式，類似於伽瑪函數的反射公式：

雙伽瑪函數滿足以下的遞推關係：

雙伽瑪函數具有以下形式的高斯和：

其中m是整數，且

。在這裏，ζ(s,q)是赫爾維茨ζ函數，

是一個伯努利多項式。乘法定理的一種特殊情況是：

一個推廣為：

其中假設了q是自然數，而1-qa則不是。

對於正整數

和

，雙伽瑪函數可以用初等函數來表示：

誤差約為

，結果越靠近

誤差越大。

雙伽瑪函數有以下的特殊值：