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隨機分析模型
鎖定
隨機分析模型,一種非確定性分析模型,變量之間的關係是以統計值的形式給出的模型。在現實世界中,不確定現象是普遍存在的。例如,漂浮在液麪上的微小粒子不斷地進行着雜亂無章運動,粒子在任一時刻的位置是不確定的;又如公共汽車站等車的人數在任一時刻也是不確定的,因為隨時都可能有乘客的到來和離去。這類不確定現象,表面看來無法把握,其實,在其不確定的背後,往往隱藏着某種確定的概率規律,因此,以概率與數理統計為基礎的隨機分析模型就成為解決此類問題最有效的工具之一。
- 中文名
- 隨機分析模型
- 外文名
- Stochastic Analysis Model
- 領 域
- 信息科學
- 分 類
- 分析模型
- 理 論
- 概率論與數理統計
- 應 用
- 金融、醫學、保險等
隨機分析模型模型介紹
從實際問題抽象出一個物理模型或者説給實際問題建立一個物理模型,是許多實際問題分析建模工作中的關鍵內容
[1]
。依隨機規律是否隨時間的變化而變化,隨機分析模型可分為靜態和動態兩類,前者只涉及到隨機變量(向量)的概率分佈及其數字特徵,後者則要處理隨機過程和隨機微分方程。
隨機模型是試驗的各處理皆是隨機抽自
的一組隨機樣本,因而處理效應τ是隨機的,隨試驗的不同而不同。若重複做試驗,必然是從總體
中隨機抽取一組新的樣本。其分析的目的不在於研究處理效應,而是在於研究τ的變異度,故推斷也不是關於某些供試處理,而是關於抽出這些處理的整個總體。
隨機分析模型理論基礎
隨機分析模型鞅論
鞅論分為離散鞅和連續鞅,是由美國數學家杜布建立的一套數學理論,其中包括的基本概念和重要定理有:上鞅、下鞅、停時定理、鞅收斂定理、鞅不等式、鞅差列的強大數律、鞅的中心極限定理等。數學上,鞅論可以應用在調和函數與下調和函數研究方面,是隨機過程與數理統計研究的有力工具。本質上,鞅是一個過程,這個過程可以理解為一個進行公平賭博的賭徒的財富(變化)情況,廣泛應用於金融、醫學以及保險等行業的實際問題中。
定義
如果隨機過程
滿足以下兩個條件:
1. 對於
的任何n,
;
2.
停時定理(可選抽樣定理)
鞅停時定理的意義在於,在公平的賭博中,你不可能贏。在一個公平的博弈中,若局中人在每次賭局結束時的賭本與他開始時的賭本一樣,但他未必一直賭下去,他可以選擇任一時刻停止賭博,這一時刻是隨機的,如果要他在停止時旳賭本和他開始時的賭本相同,需要附加條件,這些條件一旦滿足就是鞅停時定理。而停時概念就藴含其中:事件應該由某時刻以及之前的信息完全確定,而不需要也無法藉助將來的情況,且一場博弈不會無限期地延續下去,停止一個事件是隨時的。並且停止一個事件是以巳發生的事件結果為依據的。停時定理可用於確定股票期權值的界。
[3]
鞅收斂定理
鞅收斂定理説明:在很一般的條件下,鞅會收斂到一個隨機變量。這個結果很有用,例如,假設我們對某一事件發生的概率P感興趣,而對P又一無所知,那麼我們就根據鞅收斂定理,可以假定P是(0, 1)上的均勻分佈,幫助隨機過程的推導。
隨機分析模型泊松過程
泊松過程是時間間隔為獨立且同時服從指數分佈的隨機變量。由於該隨機變量概率分佈的不同,決定着隨機過程的不同。分佈為任意分佈是得到的過程為計數過程,也稱為更新過程。泊松過程是一種特殊的更新過程。
如果
是Gamma更新過程,則
,n=0, 1, 2, ...,當a為正整數時,
,n=0, 1, 2, ...。特別地,當a=1時,
,n=0, 1, 2, ...,此時為泊松過程。由於更新過程的強度為
,故此更新過程強度為
,其中
。所以對於泊松過程,時間間隔
的分佈為:
,其密度函數為:
。
[2]
Possion過程常見的例子有:
- 排隊論:計算到達的客户數;
- 一個地區的降雨量;
- 裝機光電探測器的光子數;
- 自動電話交換機的接入電話數;
- 長時間內某網絡服務器的網頁請求;
- 服務枱接到諮詢電話的次數。
隨機分析模型Wiener過程
當隨機過程
滿足下列條件時,我們稱隨機過程
為布朗運動:
1. 該過程初始值為0,即;
2.
具有固定的連續增量;
3.
在時間t內連續;
4. 增量
服從均值為0,方差為|t-s|的正態分佈,即:
。
隨機分析模型伊藤過程
伊藤過程是日本數學家伊藤發展建立的帶有布朗運動干擾項的隨機微分方程,可看成為一般化的維納過程。隨機過程
,如果其微分形式可以表示為:
,其中dz是Wiener過程,則稱
為一個伊藤過程。伊藤引理表明,如果隨機變量x遵循伊藤過程,設
是x和t的二階連續可微函數,則
遵循如下過程:
。
[2]
隨機分析模型應用實例
隨機分析模型風力發電系統
威布爾(Weibull)分佈雙參數曲線用於擬合風速分佈的線型,其概率密度函數可表達為:
式中:v為風速;k和c分別為Weibull分佈的形狀參數、適度參數,μ為平局風速,σ為標準差。
當知道了風速的分佈之後,就可以通過風力發電機組的輸出功率與風速之間的近似關係得到輸出功率的隨機分佈。風力發電機出力與風速之間的函數關係如圖1所示。其中
為風力發電機額定功率,
為切入風速,
為額定風速,
為切出風速。由圖1可以得到風力發電輸出功率
與風速v之間的函數關係式:
經統計,大部分時間內風速維持在
和
之間,
與v近似成一次函數關係,因此可求出風力發電有功功率概率密度如下:
隨機分析模型光伏發電系統
太陽能電池是光伏發電系統的基礎和核心,它的輸出功率與光照強度密切相關,由於光強具有隨機性 因此輸出功率也是隨機的,據統計,在一定時間段內(1h或幾h),太陽光照強度可以近似看成貝塔分佈(Beta Distribution),其概率密度函數如下:
式中:r和
分別為這一時間段內的實際光強和最大光強;α,β均為Beta分佈的形狀參數。
已知光強的概率密度函數,可以得到太陽能電池方陣輸出功率的概率密度函數也呈Beta分佈:
隨機分析模型配電負荷
多數有關隨機潮流的文獻均將負荷預測結果看做一個隨機變量,並採用正態分佈近似反映負荷的不確定性。假設負荷實部和虛部參數分別是
和
,其實部和虛部的概率密度函數分別為:
隨機分析模型意義
金融、醫學、保險等行業具有較高的複雜性和多樣性,給的行業實際問題的分析研究帶來很大麻煩,隨機分析模型正是用於這些複雜性問題的分析,給行業實際問題研究帶來巨大幫助。
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