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伊藤過程
鎖定
- 中文名
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伊藤過程
- 外文名
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Itô process
- 表達式
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dx(t)=μ(t,x)dt+σ(t,x)dz
- 提出者
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維納
- 提出時間
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1923年
- 適用領域
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數學,工程學,經濟學等
- 應用學科
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數學
伊藤過程簡介
隨機微分方程(SDE)形如
此方程的解
稱為伊藤過程 ,或
擴散過程(diffusion process)。在一定的條件下,隨機微分方程的解是存在唯一的。
令
由伊藤公式可得到
是
鞅。這建立了擴散過程(
)與二階微分算子 L 之間的聯繫。更進一步,可以給出了拋物型方程的隨機表示。
[1]
伊藤過程背景
控制論的發明人維納在1923年指出,布朗
運動在數學上是一個隨機過程,提出了用“隨機微分方程”來描述,因此人們也把布朗運動稱為維納過程。
日本數學家
伊藤發展建立了帶有布朗運動干擾項的隨機微分方程,
,其中,σ(t,x)是
干擾強度,μ(t,x)是漂移率,σ(t,x)dz服從
正態分佈N(0,σ
2(t,x))。
該方程描寫的過程是伊藤過程。伊藤過程可看成為一般化的
維納過程,它直接把
布朗運動理解為隨機干擾,從而賦予了布朗運動最一般的意義。
伊藤過程布朗運動
布朗
運動是隨機漲落的典型現象,一般地説,許許多多的宏觀觀測,都要受到布朗運動的限制。法國經濟學家Bachelier L把股價的變動理想化為布朗運動.
在此基礎上,經濟學家把伊藤過程方程用於描寫股票價格行為過程的一種模式,為更確切地描寫股票價格的行為過程(只限於在短時間內),伊藤過程方程被修正為
。其中σ為股票價格波動率、 μ為股票價格的
預期收益率,人們把它稱為股價方程,它是一個隨機微分方程。由伊藤過程描述的股價方程是一個正向的隨機微分方程,從確定的S(0)=S
0出發,根據布朗
運動的隨機變量B(t)在0-t之間的
形態,來推斷軌線的統計行為。
- 參考資料
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1.
王元,文蘭,陳木法.數學大辭典:科學出版社,2010