障礙問題

障礙問題(barrier problem)是對容許函數有不等式條件限制的變分不等式問題。來源於邊界固定的彈性薄膜在定義區域的某內部子域位於某給定物體(障礙)上方的平衡問題。算子：

的障礙問題歸結為如下的變分不等式：設Ω是R中的有界區域，邊界∂ Ω光滑，a_ij∈L^∞(Ω) ，(a_ij)為正定矩陣。定義雙線性型：

並設ψ∈H¹(Ω)，且在∂ Ω上ψ≤0。定義H¹₀(Ω)的閉凸集K_ψ={v∈H¹₀(Ω)|v≥ψ}，求u∈K_ψ使得對一切v∈K_ψ成立a(u，v-u)≥0。以上所説的函數ψ就是給定障礙，u為障礙問題的解。點集：

稱為重合集。重合集的邊界是一個自由邊界，因此障礙問題也是自由邊界問題。

一種特殊函數，指變分積分J(u)中滿足一定條件的函數u。容許函數的集合稱為容許函數類。例如最速落徑問題中的容許函數是滿足：

的一次可微函數，測地線問題中的容許函數v=v(u)要使相應曲線在給定曲面上等。

兩個變量的數值之間的一種相依關係(或對應的規律)。設在某變化的過程中，有x和y兩個變量， 如果對於x在某個範圍內的每一個確定的值，y都有唯一確定的值和它對應，那麼就説y是x的函數，記作為y=f (x)，其中x叫做自變量，y叫做因變量。例如，我們可以把正方形的周長公式寫成y=4x，其中x表示邊長，y表示周長。那麼， 當x每取一個確定的值， y都有唯一確定的值與它對應， 也就是説，正方形的周長y是邊長x的函數。在含有一個字母的代數式中，我們可以把這個字母看作自變量，對於這個字母的每一個確定的值 (只要能使代數式有意義)，整個代數式都有唯一確定的值與它對應。所以，每個含有一個字母的代數式都是所含字母的函數。例如，x+3是x的函數， 1/t是t的函數， 等等。

函數概念是數學上的一個非常重要的概念， 它是從大量實際的問題中抽象出來的， 它從數量關係方面體現事物的運動變化， 用函數來研究變量不但是初等數學的重要內容，而且也是高等數學的重要分支。 ^[2] 

經典變分問題的推廣和發展。將經典變分問題的約束條件放鬆為某些單邊約束(即用不等式代替等式)的變分方法。它是研究偏微分方程、最佳控制和其他領域的一個十分有用的工具，也是變分學的一個重要發展。變分不等式的形式可以各種各樣，以下的詞條是其常見的形式。

變分法亦稱變分學，研究泛函極值的一門學科。變分法主要研究泛函的變元函數使泛函達到極值的必要條件和充分條件，並研究求得該變元函數的方法及其性質。變分法的研究方法有直接法與間接法。直接法是直接由泛函去求得極值或判斷相應極值問題是否有解；而間接法是先給出泛函達到極值的必要條件：歐拉-拉格朗日方程(亦稱為歐拉方程)，然後在滿足歐拉-拉格朗日方程的解中，利用各種充分條件來判斷變分問題是否有解。

變分法的歷史可追溯到古希臘，那時就有了所謂等周問題：在長度一定的封閉曲線中，找出圍出最大面積的一條封閉曲線。另一著名的問題即最速落徑問題是由伽利略(Galilei，G.)首先提出的。但對變分法實質性研究還是從1696年，約翰第一·伯努利(Bernoulli，Johann Ⅰ)公開向歐洲數學家給出該問題的解開始，洛必達(L'Hospital，G.-F.-A.de)、雅可比(Jacobi，C.G.J.)、約翰第一·伯努利、萊布尼茨(Leibniz，G.W.)、牛頓(Newton，I.)用了不同的方法解決了這個問題。後來歐拉(Euler，L.)和拉格朗日(Lagrange，J.-L.)對這一類問題的研究奠定了變分法的理論基礎。變分法這一名詞由拉格朗日首次提出來，一直沿用下來。

人們研究變分法，是因為社會和自然諸多領域都存在變分原理的實際背景.社會追求效益，投入一定時，希望產出最大；或產出一定時，希望投入最小.某些現象中，自然也依最簡單最有效的方式運行。牛頓在《自然哲學的數學原理》中寫到：“自然不做任何徒勞無益的事情，浪費愈多，服務愈少。自然喜歡簡單性而不為浮華所動”。現代科學早期就依最優原理表達某些自然規律。這一原理看來在一定程度上反映了宇宙的先驗的和諧性，特別吸引那些為知識的統一性和簡單性而奮鬥的科學家。事實上，確實有許多自然規律可用極值原理來表達。第一個發現這種類型的原理是公元前100年，亞歷山大的海倫(Heron，(A))提出的，他用光總走最短路徑解釋光的反射定律.1662年，費馬(Fermat，P.de)從光總是依最快的路徑從一點傳播到另一點這一假設推導出光折射定律。這一假設現在稱為費馬原理。大約80年後，莫佩蒂(Maupertuis，P.-L.M.de，普魯士科學院院長)斷言，如果自然發生了什麼變化，那麼對這一變化所付出的作用量必然是最小的。萊布尼茨對作用引進量綱是“能量×時間”，按照普朗克(Planck，M.)的量子原理(1900年)，這個量是基本量子h的整數倍。在莫佩蒂的著述中，作用原理含糊不清，不十分令人信服，受到伏爾泰(Voltaire)的無情嘲諷。這或許使得拉格朗日將1788年的“分析力學”建立在達朗貝爾原理的基礎上而非最小作用原理的基礎上，儘管他早在1760年對這一原理已有了相當明確的一般數學提法。很晚以後，哈密頓(Hamilton，W.R.)和雅可比才給這一原理以令人滿意的形式，大概是亥姆霍茲(Helmholtz，H.von)把它提高到最普遍的物理規律的行列.20世紀前半期，物理學家主要熱衷於用空間時間微分方程描述自然規律，現在最小作用原理又明顯回潮。 ^[3]